高中数学一轮复习重难点 微专题二 同构在导数中的应用.pptxVIP

同构在导数中的应用

一、专题说明

同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形,转化为形式结构相同或相近的式子,然

后通过同构函数利用函数单调性解题,此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式

或不等式问题.主要考查幂、指数、对数函数的性质、导数运算及应用等,难度中等以上,试题形

式灵活多样,思维量大,对观察能力、代数式的变形能力要求比较高.;二、类型分析

类型一:结构一致性同构

1.单变量同构

首先依据题设中目标特征或适当变形,将其化为结构相同的式子,然后同构函数,利用函数单调性

求解,如:对于实数a=??,b=??,c=??,可构造函数f(x)=?·?;对于实数a=2ln7,b=3ln6,c=4ln5,适当

变形lna=ln2·ln7,lnb=ln3·ln6,lnc=ln4·ln5,可构造函数f(x)=lnx·ln(9-x)(2≤x≤4).

2.双变量同构

对于含有两个变量x1、x2的不等式,一般通过变形将x1、x2分别化到不等式的两边,若不等式两边结

构相同,则根据结构特征同构函数,利用函数的单调性解决问题.注意不等式的转化要等价.

如:

(1)?k(x1x2)?f(x1)-f(x2)kx1-kx2?f(x1)-kx1f(x2)-kx2,构造函数y=f(x)-kx.

(2)??(x1x2)?f(x1)-f(x2)?=?-??f(x1)+?f(x2)+?,构造函数y=f(x)+?.;例1????(2023山东潍坊学科素养测评,8)已知a=1012,b=1111,c=1210,则a,b,c的大小关系为?(????)

A.bca????B.bac????C.acb????D.abc;例2????(2023山东聊城一模,8)设a=?-?,b=?-?,c=?-?,则?(????)

A.abc????B.bac????C.cba????D.bca;类型二:含指数、对数形式的同构

1.依据题设条件,直接同构.

(1)积型:对于不等式aea≤blnb有三种同构方式.

?

(2)商型:对于不等式??有三种同构方式.

?;?

2.依据题设条件,变形同构.

观察不等式的结构特征,在两边同乘或同加某一式子,进行变形,甚至放缩来进行同构.

(1)aeaxlnx?axeaxxlnx,后面的转化同积型.

(2)exaln(ax-a)-a??exln[a(x-1)]-1?ex-lna-lnaln(x-1)-1?ex-lna+x-lnaln(x-1)+x-1=eln(x-1)+ln(x-

1)?x-lnaln(x-1),其中a0且a≠1.

(3)axlogax?exlna??(xlna)exlnaxlnx,后面的转化同积型,其中a0且a≠1.;例3????(2023广东深圳二模,8)已知ε0,x,y∈?,且ex+εsiny=eysinx,则下列关系式恒成立的是?

(????)

A.cosx≤cosy????B.cosx≥cosy

C.sinx≤siny????D.sinx≥siny;解析????构造函数f(x)=?,x∈?,

则f(x)=?,

当x∈?时,cosxsinx,所以f(x)0,

因为0ex,0ey,

当?=?,eε1,sinx0,siny0时,

??0,所以?xy0,

y=cosx在?上单调递减,

所以cosxcosy;

当?=?0,eε1,sinx0,siny0时,

??0,所以-?xy0,

y=cosx在?上单调递增,所以cosxcosy.;当?=?,eε1,sinx=siny=0时,

x=y=0,此时cosx=cosy.

综上,cosx≤cosy.故选A.

答案????A;例4????(2023河南中原名校联考,16)在数学中,我们把仅有变量不同,而结构、形式相同的两个式子

称为同构式,相应的方程称为同构方程,相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea=e6和关

于b的方程b(lnb-2)=e3λ-1(a,b,λ∈R)可化为同构方程,则λ=????,ln(ab)=????.;类型三:含指数、对数、幂函数形式的同构

(1)当a0且a≠1,x0时,有?=x.

(2)当a0且a≠1时,有logaax=x.

结合指数运算和对数运算的法则,可以得到下述结论(其中x0).

(3)xex=ex+lnx,x+lnx=ln(xex).

(4)?=ex-lnx,x-lnx=ln?.

(5)x2ex=ex+2lnx,x+2lnx=ln(x2ex).

(6)?=ex-2lnx,x-2lnx=ln?.

再结合常用的切线不等式lnx≤x-1,lnx≤?,ex≥x+1,ex≥ex等,