必威体育精装版轴对称中几何动点最值问题总结.pdfVIP

轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集

中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质

求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：

(1)两点之间线段最短；

(2)三角形两边之和大丁第三边；

(3)垂线段最短。

初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，

点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。

(1)+

两点一线的最值问题：(两个定点一个动点)

问题特征：已知两个定点位丁一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动

点与定点线段和最短。

核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出

任一定点关丁直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线丁一点，交点即为

动点满足最值的位置。

方法：1.定点过动点所在直线做对称。

2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。

变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等

边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在

这个图形上

1.如图，直线10和M的同侧两点AB,在直线@上求作一点P,使PA+PB最小。

、

(2)一点两线的最值问题：(两个动点+一个定点)

问题特征：已知一个定点位丁平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个

动点使线段和最短。

核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关丁

两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。

变异类型：

1.如图，点P是ZMON内的一点，分别在OM,ON上作点A,B。使^RAB的周长最小。

2.如图，点A是ZMON夕卜的一点，在射

线和最小。

OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之

（3）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）

问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点

间的距离保持不变。

核心思路：用平■移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动

点”类型来解。

变异类型：

1.如图，点P,Q为/MON内的两点，分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最小。

2.如图，已知A（1,3）,B（5,1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB的值最小

时，点P的坐标为（）

3.

（4）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）

问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另的动点

距离和最小。

核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点

之间线段最短），且这条线段垂直丁另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与

直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等丁这条垂线段

的长。

变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。

1.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小。

、常见题目

Parti

、三角形

求EM+EC的最小值。

1.ABCAB=6,AD±BC,EACMADAE=2,

如图