湖南省2023_2024学年高三数学上学期月考三试卷.docxVIP

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时量：120分钟满分：150分

得分：____________

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则中的元素个数为（）

A．2B．3C．4D．5

2．已知复数（为虚数单位）的实部与虚部之和为4，则在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．若平面向量满足，则（）

A．B．C．D．

4．“且”是“为第三象限角”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

5．将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则（）

A．B．C．D．

6．若，则（）

A．B．C．D．

7．焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（）

A．B．C．1D．

8．已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中的元素之和为（）

A．36B．42C．54D．61

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．抽取市某届马拉松比赛前5000名的部分跑者成绩绘制如下频数分布表（单位：分钟）：

分组

频数

20

60

160

140

80

40

则下列选项正确的是（）

A．估计总体中成绩落在分钟内的选手人数为4500

B．这组数据平均数的估计值为307分钟

C．这组数据第62百分位数的估计值为325分钟

D．在由以上数据绘制的频率分布直方图中，各组长方形的高度之和为0.02

10．已知曲线的方程为（且），分别为与轴的左、右交点，为上任意一点（不与重合），则（）

A．若，则为双曲线，且渐近线方程为

B．若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆

C．若点的坐标为，线段与轴垂直，则

D．若直线的斜率分别为，则

11．如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，点为棱的中点，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（）

A．长度的最小值为

B．存在点，使得

C．存在点，使得

D．棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动

12．定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（）

A．8是的一个周期B．

C．的图象关于对称D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若圆和圆恰有三条公切线，则实数____________．

14．若，则当取得最小值时，____________．

15．已知正的边长为2，点为所在平面内的动点，且，则的取值范围为____________．

16．在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，，求和．

18．（12分）

已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足．

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

19．（12分）

如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1．

（1）从下面①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立；

①；②为直角；③平面平面．

（2）设点是棱上一点．在（1）中条件都成立的情况下，试确定点的位置，使得直线与平面所成的角最大．

20．（12分）

某种植物感染病毒极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂．现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

吸收量（毫克）

6

8

3

8

9

5

6

6

2

7

编号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

吸收量（毫克）

7

5

10

6

7

8

8

4

6

9

（1）补全列联表中的空缺部分，依据的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

吸收足量

吸收不足量

合计

植株存活

1

植株死亡

合计

20

（2）现假设该植物感染病毒后的存活日数为随机变量（可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，存活日数为的样本在存活日数超过的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均