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高等数学教材复习题一答案

答案一：

1.(a)设曲线L的参数方程为x=t^2,y=t^3，则由dy/dx=3t/2t=3/2得

导数为dy/dx=3/2。

(b)设dy/dx=3/2，则由dy/dx=dy/dt/dx/dt得dy/dt=3/2，

dx/dt=1/(dy/dx)=2/3。

将dy/dt=3/2和dx/dt=2/3代入x=t^2,y=t^3得参数方程为

x=(2/3)t^2,y=(3/2)t^3。

2.(a)设f(x)在x=1处的导数存在，则由定义得f(1)=lim(x→1)(f(x)-

f(1))/(x-1)。

计算得f(1)=lim(x→1)(sin(πx)-sin(π))/(x-

1)=lim(x→1)πcos(πx)=πcos(π)=-π。

故f(x)在x=1处的导数为-π。

(b)设g(x)=1/f(x)，则g(1)=lim(x→1)(g(x)-g(1))/(x-1)。

计算得g(1)=lim(x→1)(1/f(x)-1/f(1))/(x-1)=lim(x→1)(f(1)-

f(x))/(f(1)·f(x)·(x-1))。

因为f(x)在x=1处的导数存在，所以f(x)在x=1处连续，故

lim(x→1)f(x)=f(1)。

代入得g(1)=lim(x→1)(f(1)-f(x))/(f(1)·f(x)·(x-1))=lim(x→1)(-

π)/(f(1)·f(x)·(x-1))。

故g(x)在x=1处的导数为-g(1)=-(-π)/[f(1)·f(1)·(1-

1)]=π/[f(1)·f(1)·(1-1)]=无穷大。

3.设y=f(x)在x=-1处的导数为k，则由导数的定义得

k=lim(h→0)(f(-1+h)-f(-1))/h。

等式两边同时乘以h得hk=lim(h→0)(f(-1+h)-f(-1))。

因为f(x)在x=-1处的导数存在，所以f(x)在x=-1处连续，故

lim(h→0)f(-1+h)=f(-1)。

代入得hk=lim(h→0)(f(-1+h)-f(-1))=0。

对任意正数ε，存在正数δ，使得当0|h|δ时，|f(-1+h)-f(-1)|ε。

取ε=|k|/2，由hk=0知k=0。故f(x)在x=-1处的导数为0。

4.(a)由导数性质得(d/dx)(5^x)=lim(h→0)[5^(x+h)-

5^x]/h=lim(h→0)[5^x(5^h-1)]/h。

等式两边同时乘以5^x得[5^x(d/dx)(5^x)]=lim(h→0)[5^x(5^h-

1)]=lim(h→0)[5^h-1]。

注意到lim(h→0)[5^h-1]=0，所以[5^x(d/dx)(5^x)]=0。

故(d/dx)(5^x)=0/5^x=0。

(b)由导数性质得(d/dx)(log(basea)x)=lim(h→0)[log(basea)(x+h)-

log(basea)x]/h=lim(h→0)[log(basea)(x+h)/x]/h。

等式两边同时乘以x得x(d/dx)(log(basea)x)=lim(h→0)[log(base

a)(x+h)]/h。

注意到lim(h→0)[log(basea)(x+h)]=log(basea)x，所以

x(d/dx)(log(basea)x)=log(basea)x。

故(d/dx)(log(basea)x)=1/x。

答案二：

1.(a)当x=y=0时，方程不成立。

当x=y=1时，方程成立。

故方程在[0,1]上存在解。

(b)当x=y=0时，方程不成立。

当x=y=1时，方程成立。

故方程在[0,1]上存在解。

(c)当x=y=0时，方程成立。

当x=y=1时，方程不成立。

故方程在[0,1)上存在解。

(d)当x=y=0时，方程成立。

当x=y=1时，