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2024年白俄罗斯数学奥林匹克
十一年级组第一天
1.设m,n为大于1的整数.给定m+n个不超过mn-1的正
整数，求证：其中必存在两个整数x≠y,使得[
J=LJ,且
需J=LmJ
…T15,求证：对给定的两个多项式f:(x)和f?(r),下面的不
等式成立：
3.在△ABC中，I为内心，IA为A所对的旁心，W为△ABC
的外接圆w上弧BAC的中点·点H为IA在IW上的射影.过
点I作△BIC外接圆的切线，和w交于点E,F.求证：AI的
中垂线与△EFH的外接圆相切.
4.由正整数构成的非空集合M具有性质：若正整数a?,…,Q2024
(不必互异)在M中，则a?+a?+…+Q2024也在M中.求证：
所有不小丁2049的数都在M中.
2024年白俄罗斯数学奥林匹克
十一年级组第二天
5.在圆w的弦AB上取点C和D,使得点C位于A和D之
间，且AC=BD.在w上取点E和F,使得E和F位于直线
AB的异侧，满足EC和FD均垂直于AB.∠AEB的角平分线
与直线DF相交于R.
求证：以F为圆心，FR为半径的圆与w相切.
6.设2=pip?…Pn…为全体素数.求证：对任意
正整数n≥3,至少存在pn+n-1个不超过PpiP?…Pn的素数.
7.正实数a?,Q?,…,an满足条件
2a?+a?+…+0a-1=an+”2-2m+2
对任意正整数n≥3,求下式的最小可能值：
a,+12+…+a-1+12.
8.投影仪在空间中发射出一些光线.考虑光线所成的所有锐角，
已知任意去掉一条光线都会使锐角的数量减少2.投影仪能发出
的最大光线数量是多少?
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