备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国）专题06 全等三角形中的截长补短模型(原卷版).pdfVIP

专题06全等三角形中的截长补短模型

【模型展示】

如图，在△ABC中，若AB12，AC8，求BC边上的中线AD的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DEAD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三

边的关系即可判断中线AD的取值

【证明】

延长AD至E，使DEAD，连接BE,如图所示，

特点

∵AD是BC边上的中线，

∴BDCD

在△BDE和△CDA中，

BDCD

∠BDE∠ADC

DEAE

∴△BDE≌△CDA(SAS)

∴BEAC8

在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE

∴12-8＜AE＜12+8

∴2＜AD＜10

截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某

结论条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用

全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

【模型证明】

如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E,DF交AC于点

F,连接EF，求证：BE+CF＞EF.

【证明】

延长FD至点M,使DMDF,连接BM,EM,如图所示，

同上例得△BMD≌△CFD(SAS)

∴BMCF

∵DE⊥DF,DMDF

∴EMEF

在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM

解决方案

如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D180°，CBCD,∠BCD140°，以C为顶点作一个70°角，

角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.

【证明】

延长AB至点N,使BNDF,连接CN,如图所示

∵∠ABC+∠D180°，∠NBC+∠ABC180°

∴∠NBC∠D

在△NBC和△FDC中

BNDF

∠NBC∠D

BCDC

∴△NBC≌△FDC（SAS）

∴CNCF,∠NCB∠FCD

∵∠BCD140°，∠ECF70°

∴∠BCE+∠FCD70°

∴∠ECN70°∠ECF

在△NCE和△FCE中

CNCF

∠ECN∠ECF

CECE

∴△NCE≌△FCE(SAS)

∴ENEF

∴B