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《平面向量得数量积》教学设计及反思

交口第一中学赵云鹏

平面向量得数量积就是继向量得线性运算之后得又一重要运算，也就是高中数学得一个重要概念，它就是沟通代数、几何与三角函数得一种重要工具，在每年高考中也就是重点考查得内容。向量作为一种运算工具，其知识体系就是从实际得物理问题中抽象出来得,它在解决几何问题中得三点共线、垂直、求夹角与线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它得易理解与易操作得特点。

一、总体设想：

本节课得设计有两条暗线:一就是围绕物理中物体做功,引入数量积得概念与几何意义；二就是围绕数量积得概念通过变形与限定衍生出新知识――垂直得判断、求夹角与线段长度得公式。教学方案可从三方面加以设计：一就是数量积得概念；二就是几何意义与运算律；三就是两个向量得模与夹角得计算。

二、教学目标:

１、了解向量得数量积得抽象根源。

2、了解平面得数量积得概念、向量得夹角

３、数量积与向量投影得关系及数量积得几何意义

4、理解掌握向量得数量积得性质与运算律，并能进行相关得判断与计算

三、重、难点:

【重点】1、平面向量数量积得概念与性质

2、平面向量数量积得运算律得探究与应用

【难点】平面向量数量积得应用

课时安排:

2课时

五、教学方案及其设计意图:

1.平面向量数量积得物理背景

平面向量得数量积,其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题得抽象.首先说明放置在水平面上得物体受力F得作用在水平方向上得位移就是ｓ，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓得向量，这时物体力F得所做得功为Ｗ，这里得?就是矢量F与s得夹角，也即就是两个向量夹角得定义基础,在定义两个向量得夹角时,要使学生明确“把向量得起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角得范围。这给我们一个启示：功就是否就是两个向量某种运算得结果呢？以此为基础引出了两非零向量a,b得数量积得概念。

平面向量数量积(内积）得定义

已知两个非零向量a与b，它们得夹角就是θ,则数量｜a｜｜b｜cｏs?叫a与ｂ得数量积，记作ａ?b,即有a?b＝｜a｜｜ｂ｜cos?，(0≤θ≤π)、

并规定0与任何向量得数量积为0、

零向量得方向就是任意得,它与任意向量得夹角就是不确定得,按数量积得定义a?ｂ=｜a｜｜b｜cｏｓ?无法得到，因此另外进行了规定。

3、两个非零向量夹角得概念

已知非零向量ａ与ｂ，作=ａ，＝b,则∠AOＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ得夹角、

,就是记法,就是定义得实质――它就是一个实数。按照推理，当时，数量积为正数；当时,数量积为零;当时，数量积为负。

4、“投影”得概念

定义：｜ｂ｜cos?叫做向量b在a方向上得投影.

投影也就是一个数量，它得符号取决于角?得大小。当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0；当?=0?时投影为｜b｜；当?=1８0?时投影为?｜b|、因此投影可正、可负，还可为零.

根据数量积得定义，向量ｂ在a方向上得投影也可以写成

注意向量a在b方向上得投影与向量b在a方向上得投影就是不同得,应结合图形加以区分。

5．向量得数量积得几何意义：

数量积a?ｂ等于a得长度与b在a方向上投影｜b|coｓ?得乘积、

向量数量积得几何意义在证明分配律方向起着关键性得作用。其几何意义实质上就是将乘积拆成两部分:。此概念也以物体做功为基础给出。就是向量b在a得方向上得投影。

６.两个向量得数量积得性质：

设a、ｂ为两个非零向量，则

（１)a?b?a?b＝０;

（２）当a与b同向时，a?b=｜a｜｜b｜；当a与b反向时，a?b=?|a｜｜b｜、特别得a?a=|a|2或

（3）｜a?b|≤|ａ|｜b|

(4)，其中为非零向量a与b得夹角。

例１、（1）已知向量a，b,满足，a与b得夹角为，则b在ａ上得投影为＿_____

(2)若,,则ａ在b方向上投影为＿＿＿＿___

例2、已知，，按下列条件求

（1）(2)（３）ａ与ｂ得夹角为

7、平面向量数量积得运算律

1。交换律：a?b=ｂ?a

证:设a，b夹角为?,则a?b＝｜a｜|b|ｃos?，b?a=｜b｜|a|cｏｓ?

∴a?b=b?a

2。数乘结合律：(a)?b＝（a?b）=a?（ｂ)

证：若〉０,(a)?ｂ=｜a｜｜b｜ｃ