备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国）专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型(解析版).pdfVIP

专题11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

特点

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即

△ACD∽△ABC∽△CBD.

222

结论CA＝AD·AB，BC＝BD·BA，CD＝DA·DB.

【模型证明】

“三垂直”模型

如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.

解决方案“一线三等角”模型

如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.

特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

【题型演练】

一、单选题

1．如图，矩形纸片ABCD中，AB6，BC8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE

上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE4，则AF的长为（）

16

．．．．

AB4C3D2

3

【答案】C

【分析】由矩形的性质可得ABCD6，ADBC8，∠BAD∠D90°，通过证明△ABF∽△DAE，可得

AFDE

，即可求解．

ABAD

【详解】解：∵矩形ABCD，

∴∠BAD∠D90°，BCAD8

∴∠BAG+∠DAE90°

∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，

∴BF垂直平分AG

∴∠ABF+∠BAG90°

∴∠DAE∠ABF，

∴△ABF∽△DAE

AFABAF6

∴即

DEAD48

解之：AF3．

故答案为：C．

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，

证明三角形相似是解题的关键．

F30

．如图，边长为的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板（）

210ABCDACAD330°

BCPQPQEF//PQDQ

绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（）

DDEDFAB

A．6B．39C．10D．63

【答案】B

QQKAC

【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得

K30

△ADP∽△BPQAPBQCQCKQKRt△DQK

，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用

BPDK

DQ

勾股定理可以求得的长度．

QQKAC

【详解】解：过点作于，

K

在等边ABC中，ABC60，ABBCAC10，

在RtEFD中，E60，F30，

∵EF//PQ，

∴DPQ60，DQP30