湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 含解析.docx

2024年下学期期中考试试卷

高三数学

注意事项：

1．本试卷考试时量120分钟，满分150分；

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；

3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题知，，再求集合交集运算即可.

【详解】解：因为，所以，即，

因为，解得，所以，

所以，.

故选：D

2.复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】因为

，

所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.

故选：B

3.已知则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用对数的定义及对数运算法则计算即得.

【详解】依题意，

由，得，则，，

所以.

故选：D

4.若向量满足，则（）

A. B. C.2 D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解．

【详解】因为向量，满足，，，

所以，即，

所以，则．

故选：A．

5.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.

【详解】因为，

所以

.

故选：C

6.已知在四边形中，，，，则的长为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求解.

【详解】在中，由，且，可得，

由正弦定理得，所以，

在中，由余弦定理得，

所以．

故选：D.

7.已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求.

【详解】因为，且，则，

由题意可得：，解得，

又因为直线为函数图象的一条对称轴，

则，解得，

可知，即，

所以.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围.

8.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】将四面体放入长方体中，求解长方体的长宽高，求解外接球的半径，判断的轨迹，然后求解即可．

【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，，

依题意，可知，，

则，，，解得，，

由于，即异面直线和的距离为，

由于长方体的左右侧面为正方形，所以，

取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以，

又平面，故平面，

四面体外接球半径为，球心为，

由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为，

过作球的一个轴截面，

所以，且，

，且，

解得，

所以的轨迹长度为．

故选：D．

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A、B：利用作差法分析判断；对C、D：根据基本不等式分析判断.

【详解】对A、B：∵，则，

∴，即，，A、B正确；

对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；

对D：∵，则，

∴，D正确.

故选：ABD.

10.如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是（）

A.若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为

B.若AP=，则点P的轨迹长度为

C.若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是

D.若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断AB，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C，结合条件可得外接球的半径，即可判断D

【详解】

分别取棱，的中点M，N，连接，

易证，，

平面，平面，所以平面，

且平面，平面，所以平面，

又平面，则平面平面，

因为平面，且P是正方形内的动点，

所以点Р的轨迹是线段.