《2 易拉罐的设计》（同步训练）高中数学选择性必修第三册_沪教版_2024-2025学年.docxVIP

《2易拉罐的设计》同步训练(答案在后面)

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、一个易拉罐的形状是圆柱形，若要使易拉罐的容积为定值，当底面半径和高的乘积最小时，这时的筒高与筒底面半径之比为：

A、1

B、2

C、3

D、4

2、一个圆柱形易拉罐的底面半径为5cm，高为12cm，为了使拉环到罐底的距离最大，这种易拉罐的拉环应该安装在圆柱的（）

A、圆心处

B、距底5cm的位置

C、距底7cm的位置

D、距底10cm的位置

3、假设一个易拉罐的形状是一个完美的圆柱体，如果它的底面半径为r厘米，高为h厘米，并且已知其体积V=355cm3（约等于标准的易拉罐容量）。如果要使制作该易拉罐所使用的材料最少，即表面积最小，那么

A.r

B.r

C.r

D.r

4、易拉罐的侧面展开后形成的图形为（）

A、正方形

B、长方形

C、等腰三角形

D、圆形

5、一个易拉罐的底面半径为r厘米，高为h厘米。若要使该易拉罐的表面积最小，底面半径和高的关系应满足下列哪个条件？

A.h

B.h

C.h

D.h

6、易拉罐的设计中，若圆柱形罐身的底面半径为r，高为h，则圆柱的表面积S（单位：cm2）可以表示为以下哪个选项？

A.S

B.S

C.S

D.S

7、一个标准易拉罐的高度与直径之比为2:1，如果易拉罐的体积固定为355毫升（1毫升=1立方厘米），求该易拉罐的高度（结果保留两位小数）。

A.6.28cm

B.12.56cm

C.9.42cm

D.18.84cm

8、一个圆柱形易拉罐的底面直径为6cm，高为10cm。现要设计一个无盖的圆柱形纸盒，使得其容积与上述易拉罐的容积相等，且纸盒的表面积最小。则纸盒的高为（）

A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.8cm

二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）

1、设计一个易拉罐的形状时，需要考虑以下哪些因素来确保最优的空间利用和材料使用？（）

A、易拉罐的高宽比

B、易拉罐的容积大小

C、易拉罐的材料厚度

D、易拉罐的表面光滑度

2、在一易拉罐的设计中，若易拉罐的容积为V立方厘米，底面的半径为r厘米，高度为h厘米。已知底面面积S满足S=πr2，下列关于易拉罐侧面积A侧以及表面积A表的表达式正确的是：

A、A侧=2πrh，A表=πr2+2πrh

B、A侧=πr2h，A表=2πr2+2πrh

C、A侧=2πrh，A表=2πr2+2πrh

D、A侧=πr2h，A表=πr2+2πrh

3、某品牌易拉罐的侧面展开图是一个矩形，其长为16cm，宽为6cm。设计者希望在该矩形内设计一个圆，使得圆的面积最大，同时圆的边缘尽可能靠近矩形的边缘。请选择以下说法正确的一项：

A.圆的直径最大为10cm

B.圆的面积最大为50πcm2

C.圆的边缘离矩形边缘的距离为5cm

D.圆的面积最大时，圆心位于矩形的中心

三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

1、为了探究易拉罐的最优化设计，假设易拉罐的底面半径为r厘米，高为h厘米，当r=5厘米，h=

2、假设易拉罐的高为h，底面半径为r（单位：cm），为了使得易拉罐的容积Vh,r=πr

3、一个圆柱形易拉罐的侧面展开后是一个矩形，若圆柱的底面半径为r，高为h，则矩形的长为______，宽为______。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）

第一题

题目：

在易拉罐的设计中，为了成本最小化并保持产品的容量和质量，通常需要优化易拉罐的形状和尺寸。假设一个易拉罐的底部是圆形，罐身为圆柱形，顶部是一个与底面半径相同的圆形。该易拉罐的容积为500毫升（500立方厘米），高度为直径的1.5倍。若制造金属罐的材料成本为0.05元/平方厘米，求制造这个易拉罐所需的最小成本是多少元？（π取3.14）

1.设底面半径为r厘米，高度为h厘米。

由题意得，容积V=500立方厘米，且

2.由容积公式得到r与h的关系。

圆柱体的体积公式是V=πr2

从而解出r3

得r≈

那么，h=

3.计算表面积。

易拉罐的总面积包括底面、顶面，和侧面。即A=

将r和h的值带入得：

A=2×

4.计算成本。

当单位面积的价格为0.05元时，整个易拉罐的成本为354.58×

第二题

解题题干：某饮料公司设计了一种新型易拉罐，其形状为圆柱形，底面半径为5cm，高为12cm。根据现场实际操作经验，生产一个这种易拉罐需花费的材料成本为7.71元。公司计划此类易拉罐每销售一个需赚取1.5元的利润。现有一种材料成本降低为6.85元的易拉罐，公司想通过减少成本来实现利润最大化。请问：

（1）这种新型易拉罐的表面积是多少（精确到0.01平方厘米）？

（2）新材料成本下，要实