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分段函数在分段点处求导方法初探

摘要：本文利用微分中值定理对分段函数在分段点处的导数进行了讨论，并给出了一

种求导方法。

关键词：分段函数，分段点，导数，微分中值定理。

一、问题的提出

在《微积分》教材及很多高等数学参考书中，分段函数的导数一般按下面方法来求：

（1）在各个部分区间内用导数公式与运算法则求导。（2）在分段点处按导数定义求导，

即求分段点处的左、右导数。而分段点处可导的充分必要条件是左、右导数存在且相等。

但是，我在教学过程中经常发现：一些学生在求分段函数在分段点处的导数时，不按导数

定义去求左、右导数，而是利用导函数在分段点处的左、右极限得出左、右导数。例如：

设函数：

讨论在分段点处的可导性时，一些学生这样来求左、右导数：

而这样做得结果与按导数定义求左、右导数所得结果相同，那么这样做对不对呢？下面我

们来讨论这一问题。

二、问题探讨

定理：设分段函数

其中，均为初等函数，在a点右邻域可导，在点左邻域可导，

在处连续，若极限，存在，则有：,

证：因为在处连续，则

当时，因在点右邻域可导，故在内可导，又为初等

函数，故在上连续，从而在上满足微分中值定理的条件，由微分中

值定理有：

故由导数定义有：

又因为，则当时，有从而可得：

当时，虽然在处无定义，但因为在处连续，则可以

补充定义，令：

又为初等函数，故在上连续，又在点的左邻域可导，故在

上可导，从而由微分中值定理可得：

完全类似地可推得：

综上所述，我们有：

关于该定理，我们进一步说明以下几点：

1、在满足该定理条件之下，可利用该定理结论求出与，然后比较

与是否相等，从而得出在处是否可导的结论。这样，就避免了用导数定

义求左、右导数的麻烦。

2、该定理要求在处连续。事实上，若在处不连续，由连续与

可导关系知，不连续一定不可导，由此可得出在处不可导的结论。因此应用该

定理结论时，应判断在处是否连续。否则，即使有，

也不一定在处可导。例：

虽然有，但在处不可导，因为在处不连续。

3、若与极限至少有一个不存在时，在处可能可导，

也可能不可导，需用导数定义判断。例如函数：

讨论在处的可导性时，由连续性定义可知在处连续，

而极限不存在，并不意味着不存在，此时用

导数定义求：

则在处可导。

4、该定理给出了分段函数只有一个分段点的情况，对于分段函数有多个分段点的情况，

可完全类似得出相应的结论。