2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题05 数列下的新定义（七大题型）（学生版）.docx

专题05数列下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：牛顿数列问题

题型二：高考真题下的数列新定义

题型三：数列定义新概念

题型四：数列定义新运算

题型五：数列定义新情景

题型六：差分数列、对称数列

题型七：非典型新定义数列

【方法技巧与总结】

1、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以简单运用的能力，考查了学生探究精神．要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力(多想少算甚至不算)．因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、套路总结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题．

2、解答与数列有关的新定义问题的策略：

(1)通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

(2)遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决．

(3)类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢．

【典型例题】

题型一：牛顿数列问题

【典例1-1】(2024·广东韶关·二模)记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.

(1)求；

(2)证明数列是等比数列并求；

(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.

【典例1-2】(2024·高二·浙江绍兴·期末)物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

??

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．(参考数据：，，，)

【变式1-1】(2024·广东广州·二模)已知函数.

(1)证明：恰有一个零点，且；

(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.

(i)设，求的解析式；

(ii)证明：当，总有.

题型二：高考真题下的数列新定义

【典例2-1】（2024年高考新课卷1）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．

(1)写出所有的，，使数列是可分数列；

(2)当时，证明：数列是可分数列；

(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．

【典例2-2】（2024年高考新课卷2）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.

(1)若，求；

(2)证明：数列是公比为的等比数列；

(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.

【典例2-3】(2023·北京·高考真题)已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，

定义，其中，表示数集M中最大的数.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求；

(3)证明：存在，满足使得．

【典例2-4】(2022·北京·高考真题)已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．

(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；

(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；

(3)若为连续可表数列，且，求证：．

【变式2-1】(2021·北京·高考真题)设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：

①，且；

②；

③，．

(1)如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；

(2)若数列是数列，求；

(3)设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．

【变式2-2】(2020·北京·高考真题)已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使；

②对于中任意项，在中都存在两项．使得．

(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

题型三：数列定义新概念