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第2讲一元二次不等式及其解法

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常见题型

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

多与函数、导数相联系，作为解答题的一部分，考查恒成立问题或含字母参数讨论问题，难度系数较大占5～8分

[知识梳理]

1．一元二次不等式及标准形式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式，其标准形式为ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a0.

2．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的求

解过程用程序框图表示为

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元

二次方程的关系如下表：

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两相异实根x1，x2(x1x2)

有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

[知识感悟]

1．(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法

不等式

解集

ab

a＝b

ab

(x－a)·(x－b)0

{x|xa或xb}

{x|x≠a}

{x|xb或xa}

(x－a)·(x－b)0

{x|axb}

?

{x|bxa}

口诀：大于取两边，小于取中间．

2．分式不等式与一元二次不等式的关系

(1)eq\f(x－a,x－b)0等价于(x－a)(x－b)0.

(2)eq\f(x－a,x－b)0等价于(x－a)(x－b)0.

(3)eq\f(x－a,x－b)≥0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－a??x－b?≥0，,x－b≠0.))

(4)eq\f(x－a,x－b)≤0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－a??x－b?≤0，,x－b≠0.))

3．两个常用的结论

(1)不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0.,Δ0.))

(2)不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0.))

[知识自测]

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()

(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()

[答案](1)√(2)√(3)×(4)×(5)√

2．不等式eq\f(x－1,x＋2)0的解集为()

A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)

C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

[解析]原不等式化为(x－1)(x＋2)0，解得－2x1，故原不等式的解集为(－2,1)．

[答案]C

3．已知不等式x2－2x＋k2－10对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是______．

[解析]由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)0，

即k22，∴keq\r(2)，或k－eq\r(2).

[答案](－∞－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)

题型一不含参数的一元二次不等式的解法(基础保分题，自主练透)

(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋1，x≤0，,－2x，x0，))则不等式f(x)－x≤2的解集是______．

[解析]当x≤0时，原不等式等价于2x2＋1－x≤2，∴－eq\f(1,2)≤x≤0；当x0时，原不等式等价于－2x－x≤2，∴x0.综上所述，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,2))))).

[答案]eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al