专题06 三角恒等变换与解三角形（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）.docx

专题06三角恒等变换与解三角形

目录

TOC\o1-2\h\u明晰学考要求 1

基础知识梳理 2

考点精讲讲练 3

考点一：利用三角恒等变换公式求值 3

考点二：三角恒等变换与三角函数综合 6

考点三：利用正余弦定理解三角形 9

考点四：正余弦定理的实际应用 13

实战能力训练 16

明晰学考要求

1、了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程；

2、能利用两角差与和的余弦、正弦、正切公式进行求值、计算；

3、能利用余弦、正弦、正切的二倍角公式求值、计算；

4、了解正弦定理，能利用正弦定理解三角形；

5、了解余弦定理，能利用余弦定理解三角形；

6、能利用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题.

基础知识梳理

1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式

（1）两角和与差的余弦公式：

简记

公式

C(α＋β)

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；

C(α－β)

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

（2）两角和与差的正弦公式

简记

公式

S(α＋β)

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

S(α－β)

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

（3）两角和与差的正切公式

简记符号

公式

使用条件

T(α＋β)

tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)

α，β，α＋β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)

T(α－β)

tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)

α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)

2、二倍角公式

（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式

记法

公式

S2α

sin2α＝2sinαcosα

C2α

cos2α＝cos2α－sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1

T2α

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)

（2）注意余弦的二倍角公式的逆用：1-2sin2α=cos2α，2cos2α-1=cos2α，1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α等.

3、辅助角公式

asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符号确定.

4、正弦定理

（1）正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆的半径).（2）正弦定理变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).

5、余弦定理

（1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，

即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

则a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

（2）推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).

考点精讲讲练

考点一：利用三角恒等变换公式求值

【典型例题】

例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解.

【详解】.

故选：C.

例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B【分析】用二倍角公式即可求解.

【详解】，

故选：B

例题3．（2023高三·江苏·学业考试）在中，已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】确定，再利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】，，，解得.

故选：D

例题4．（2024高三上·江苏南京·学业考试）“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】化简得,再根据充分、必要条件的知识判断即可.

【详解】因为,

所以，

解得.

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

【即时演练】

1．（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】C【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】.

故选：C

2.的值是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用