专题03 函数的概念与性质（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）.docx

专题03函数的概念与性质

目录

TOC\o1-2\h\u明晰学考要求 1

基础知识梳理 1

考点精讲讲练 4

考点一：函数的概念 4

考点二：函数的表示 7

考点三：函数的单调性与最大（小）值 9

考点四：函数的奇偶性 12

考点五：幂函数 16

考点六：函数的应用（一） 19

实战能力训练 23

明晰学考要求

1、体会集合语言和对应关系刻画函数的概念；

2、了解构成函数要素，能求简单的函数定义域；

3、会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用；

4、了解简单的分段函数，并能简单应用；

5、会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值；

6、了解奇偶性的概念；

7、了解周期性的概念

基础知识梳理

1、函数的概念

设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.

其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域

与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

2、同一（相等）函数

函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

3、函数的表示

函数的三种表示法

解析法（最常用）

图象法（解题助手）

列表法

就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.

就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.

就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.

4、函数的单调性

（1）单调性的定义

一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；

①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数

②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数

（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）

若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．

5、函数的最值

（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足

①对于任意的，都有；

②存在，使得

则为最大值

（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足

①对于任意的，都有；②存在，使得

则为最小值

6、函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数

图象关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数

图象关于原点对称

7、函数对称性

（1）轴对称：若函数关于直线对称，则

①；

②；

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

（2）点对称：若函数关于直线对称，则

①

②

③

8、幂函数定义

一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．

9、五种常见幂函数

函数

图象

性质

定义域

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在上单调递增

在上单调递减；在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

10、常见几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

(，为常数，)

二次函数模型

(，，为常数，)

分段函数模型

幂函数模型

(，，为常数，)

考点精讲讲练

考点一：函数的概念

【典型例题】

例题1．（2024福建）函数的定义域为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】具体函数的定义域

【分析】求已知函数解析式的函数的定义域，只需让函数解析式有意义即可.

【详解】由题意可得：，∴

故选：A例题2．（2024云南）已知函数，则（????）

A． B． C．2 D．1

【答案】A

【知识点】求函数值

【分析】由函数解析式求解．

【详解】因为，所以，

故选：A

例题3．（2024浙江）若，，则（????）

A．55 B．190 C．210 D．231

【答案】B

【知识点】求函数值

【分析】利用赋值法分析可得，，即可得结果.

【详解】令，则，可得；

令，则，可得；

令，则，即，

则，

可得，

所以.

故选：B.

【即时演练】

1．下列各组函数中为同一函数的是（???）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】B

【知识点】判断两个函数是否相等

【分析】根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案.

【详解】A选项，，所以A选项错误.B选项，，，

两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确.

C选项，对于，，解得或，

所以的定义域是，

对于，，解得，

所以的定义域是，所以C选项错误.

D选项，的定义域是，

的定义域是，所以D选项错误.

故选：B

2．函数的定义域为（???）

A． B． C． D．

【答案】B