专题02 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）.docx

专题02一元二次函数、方程和不等式

目录

TOC\o1-2\h\u明晰学考要求 1

基础知识梳理 1

考点精讲讲练 4

考点一：等式性质与不等式性质 4

考点二：基本不等式 6

考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 9

实战能力训练 13

明晰学考要求

1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质；

2、掌握基本不等式（）；

3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题

4、会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系；

5、了解一元二次不等式的意义，会求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；

基础知识梳理

1、不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.

自然语言

大于

小于

大于或等于

小于或等于

至多

至少

不少于

不多于

符号语言

2、实数大小的比较

1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.

2、作差法比大小：①；②；③3、不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

，同为正数

4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果，，，当且仅当时，等号成立．

②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．

5、两个重要的不等式

①（）当且仅当时，等号成立．

②（）当且仅当时，等号成立．

6、利用基本不等式求最值

①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；

②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；

7、二次函数

（1）形式：形如的函数叫做二次函数.

（2）特点：

①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.

②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().

8、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

9.或型不等式的解集

不等式

解集

10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式

二次函数的图象

一元二次方程

的根

有两相异实数根，()

有两相等实数根

没有实数根

一元二次不等式

的解集

一元二次不等式

的解集

考点精讲讲练

考点一：等式性质与不等式性质

【典型例题】

例题1．（2024北京）已知，则下面不等式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.

【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立；

对于C：由可得，故成立.

故选：C

例题2．（2024福建）已知，则下列不等式一定成立的是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据不等式的性质判断AB，举反例判断CD．

【详解】因为，

所以，A正确；

，因此，B错；

时，，但，，CD错；

故选：A．

例题3．（2024湖北）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据题意建立不等关系即可.

【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，

则有.

故选：C

【即时演练】

1．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小.

【详解】由，得，则；

，则；

，则，

所以这四个实数中的最大者是.

故选：C

2．（多选）对于任意的实数，下列命题错误的有（????）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】根据不等式性质可判断.

【详解】A选项：，若，则，选项错误;

B选项：,，设，，，，则，选项错误;

C选项：若，则，选项正确；

D选项：，设a=2，，则，选项错误.

故选：ABD.

3．设，，则有．（请填“”、“”、“”，“”，“”）

【答案】

【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】利用作差法以及完全平方数比较即可求解．

【详解】因为，，

所以

，

故．

故答案为：．

考点二：基本不等式

【典型例题】

例题1．（2023广西）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点