2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题06 高等解析几何背景新定义（七大题型）（教师版）.docxVIP

专题06高等解析几何背景新定义

【题型归纳目录】

题型一：特殊空间几何体新定义

题型二：空间斜坐标系新定义

题型三：结合解析几何距离新定义

题型四：空间直线方程

题型五：空间平面方程

题型六：立体几何与解析几何结合新定义

题型七：解析几何概念新定义

【方法技巧与总结】

空间立体几何与解析几何新定义试题呈现的结构通常为“给出图形的新定义—探索图形的新性质—运用图形的新性质解决问题”，设问的层次通常为从简单到复杂、从特殊到一般．理解概念重要的不仅是概念如何定义，而且是概念能够引出哪些性质(具有哪些表征)；研究图形重要的不仅是发现了什么结论，而且是采用了怎样的思想方法．这正是数学课程性质中的抽象结构思想和数学课程目标中的核心素养导向的体现．

【典型例题】

题型一：特殊几何体新定义

【典例1-1】(2024·高三·河北·阶段练习)已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，.

(1)证明：平行六面体是直四棱柱；

(2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系.

【解析】(1)证明：由题意，，

∴，，即，，

∵，是平面内两相交直线，∴平面，

∴平行六面体是直四棱柱；

(2)，

由题意，，，

，所以，

，，

∴.

∴，

故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积.

【典例1-2】(2024·高二·上海徐汇·期中)设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中(，2，…，k，)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且．

(1)求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和；

(2)若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间．

【解析】(1)在直四棱柱中,，底面ABCD为菱形，

由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等，

所以处的曲率为，而处的曲率为，又，

所以、两处的曲率和为，

故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和.

(2)由题设，处的曲率，故，

所以直四棱柱底面面积为，

故直四棱柱高为1，故体积为，

令，，可得，，即，上递增；

令，，可得，，即，上递减；

所以增区间为，减区间为，.

【变式1-1】(2024·辽宁沈阳·二模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.

(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；

(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设

(i)用表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积；

(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.

【解析】(1)蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，

根据定义其度量值等于减去三个菱形的内角和，

再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，

即蜂房曲顶空间的弯曲度为.

(2)(i)如图所示，连接AC，SH，则，设点在平面的射影为O，

则，则，

菱形SAHC的面积为，

侧面积，

所以蜂房的表面积为.

(ii)，

令得到，

所以在递增；在递增.

所以在处取得极小值，也即是最小值.

此时，在中，令，由余弦定理得，

又顶点的曲率为，

.

题型二：斜坐标系新定义

【典例2-1】(2024·高二·湖北·阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴(轴，轴，轴)正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．

(1)若，求的斜坐标；

(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．

??

①若，求向量的斜坐标；

②若，且，求．

【解析】(1)，

的斜坐标为．

(2)设分别为与同方向的单位向量，

则，

①

②由题，

由，知，

由，知：

，

，解得，

则．

【典例2-2】(2024·高二·四川绵阳·阶段练习)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类