数学建模结课论文-十字路口黄灯应该亮多久.doc

数学实践与建模课程论文

姓名：

十字路口黄灯应该亮多久

摘要：在十字路口交通灯起着重要的指挥作用，而黄灯又是某些路口不得不需要的一种指示灯，它使十字路口的交通情况变得更好、更流畅。本文通过对十字路口车流量，以及人流量对等对十字路口黄灯应该亮多久进行了分析，运用所学的数学知识针对这个问题建立一个数学模型。利用一些软件进行辅助，并对模型进行求解，得出一个相对理想的结果。

关键字：加速度速度重量十字路口停车距离黄灯

一、问题的提出：

在一个十字路口当绿灯结束的时候，通常会出现黄灯使得司机和行人都有一个准备的时间做出一个决定是否应该通过此十字路口，我们现在问这个黄灯应该亮多久比较合适？

二、问题的分析：

之所以要有黄灯，我们主要是想要给司机和行人一些反应的时间。当司机看到黄灯时有一定反应时间决定他到底是该停，还是该继续行驶（已越过停止线的车辆可以继续通行,如果觉得不能通过，就必须停车。接着是红灯亮，禁止车辆通行。）。如果车辆以一定的速度通过路口，交通指示灯突然由绿灯变成红灯，没有时间给司机作出是停车还是继续前进的决定，而行人看到的是由红灯变成绿灯，没有黄灯给的反应时间行人以为是绿灯了就有可能直接走上人行横道，而有的司机又没有作出停车的决定，这样就有可能出现交通事故。为了避免这种情况的发生所以我们再两灯之间加入了黄灯。我们应该找出一个较短既能保证交通流畅又能使黄灯所亮时间较短的时间，使模型优化。由于人的反应仅仅是决定是否该此时通过该路口，无时间可言，所以仅仅考虑车辆的情况。所以黄灯所需的时间为司机的决定时间加上通过十字路口需要的时间和停车距离的驾驶时间。

三、模型的假设：

（1）、所有的行人和司机都遵守交通规则。

（2）、十字路口不存在交通行驶流畅，不存在交通堵塞的情况。

（3）、所有汽车通过十字路口的速度都是一样的。

（4）、所有的行人通过十字路口的速度是恒定不变的，以一般行人的正常速度通过人行横道。

四、符号的说明：

V：时刻t通过点x的车流速度

V1：汽车的刹车后的末速度

C：十字路口的长度

L：车辆的长度

T1：驾驶员的反应时间

T2：车辆通过十字路口所需要的时间

T3：到停车距离的驾驶时间

f:车辆与地面的摩擦力

M：车辆的质量

a:车辆刹车是的加速度

S：为到停车位置的距离

T：十字路口黄灯所需亮的时间

四、模型的建立：

我们首先要对十字路口的各种数据作出调查，从而等到相对准确的解决问题所需要的数据。速度V（x，t）~时刻t通过点x的车流速度；十字路口的长度为C。对于车长为L的车辆我们可以得出它通过十字路口的时间为：T2=（L+C）/V，当司机决定停车的时候，车子会有一段停车距离和停车时间。这段时间我们通过牛顿力学公式可以计算出来。假设停车距离为S，车子与路之间的摩擦力为f（f为矢量），车子的质量为M，车子的末速度为V1。这样就可以得到一个方程组：f=Ma；S=V1*(T3)-1/2a（T3）*（T3）。再有人刹车之前有一个反应时间，记为T1。则总共需要时间T为三个时间相加。即：T=T1+T2+T3。

五、模型的求解：

从方程组：f=M*a；S=V1*(T3)-1/2a（T3）*（T3）。我们由f=M*a可以求出a=f/M，代入方程S=V1*(T3)-1/2a（T3）*（T3）中我们能知道车子如果停下那么车子的末速度就V1就等于0，如果车子不能停下，那么它就要继续通过十字路口，这样所用的时间必然会比停下加上再通过的时间所用的时间短，所以我们只需要考虑停下的时候。即V1=0，从而我们能求出T3=。

如果司机作出决定的时间是T1。黄灯总共需要亮的时间T=T1+T2+T3=T1+(L+C)/V+。

我们得出行驶速度V与时间T的函数关系图如下：

V

V

O

T

对于一个一般的十字路口车速大概是6m/s，汽车的质量为1.2吨左右（取1.2吨），车长一般为3米左右（取3米），汽车的质量为1.2吨左右（取1.2吨），路口的长度平均大约在10米，汽车紧急制动时的加速度大约为-5m/s*s，与停车距离的距离大约为5m。人需要刹车时的反应时间大约是1秒。

根据上面的数据我们可以代入上面的公式算出一般的十字路口黄灯所亮的时间为T=2.17+1+=4.58s

但不同的路口很多数据是不同的，但又是固定不变的。如：路口的长度。有的数据不同的路口都是相差不大的，如：车的平均长度，汽车紧急制动时的加速度等。我们需要对不同的路口，用路口相对应和适应的数据，求出不同路口的不同的最佳时间，进而确定不同路口黄灯所亮的时间。

六、模型的改进

对于不同的车质量不同，那么它所产生的加速度就不一样。所以，对于同一个路口，不同的车，我们应该限于不同的速度以