《应用数值分析》课件数值分析1.3.1范数.pptx

1:向量范数的定义向量范数如果向量的某个实值函数满足下列条件：则称是上的一个向量范数.

称为∞－范数称为1－范数称为2－范数称为p－范数2:常用的向量范数向量范数在上的向量，三种常用的范数：

解：例2：求全1向量的各种范数.解：向量范数例1：计算向量的各种范数.

范数的连续性3:向量范数的性质定理1向量范数

3:向量范数的性质定理2向量范数的等价性向量范数?

8以(3)为例证明，向量范数例3：

向量范数称4:向量序列的收敛性

定理3向量范数充分性证明:由向量范数等价性知道，只要对一种范数来证明，则对任一种范数都成立，为此取来证明.

向量范数必要性由向量序列的收敛性定义可知定理3注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任何一种范数意义下研究。

小结向量范数定理：Rn上的任意两个向量范数等价.范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性和一般性向量范数的定义向量范数的性质

1:矩阵范数的定义矩阵范数定义1如果A∈Rn×n的某个非负实值函数满足：(1)正定性：(2)正齐性：对任意实数(3)三角不等式：对任意(4)乘法不等式：则称为n阶矩阵A的范数。

16验证：算子范数满足矩阵范数的4条公理及相容性条件.由定义可得显然，算子范数满足定义1中的条件（1）（2）现验证满足条件（3）（4）矩阵范数

例1：证明不是矩阵的算子范数.反例：单位矩阵的F范数为说明不是矩阵的算子范数.矩阵范数

称为∞－范数或行范数称为1－范数或列范数称为2－范数(其中λmax(ATA)表示ATA的最大特征值)称为F－范数矩阵范数常用的矩阵范数

例2：计算A的各种范数.解：矩阵范数

令即故最大的特征值为所以解得计算2-范数矩阵范数

定理上的任意两种矩阵范数都是等价的.即对上的任意两种矩阵范数存在常数，使得矩阵范数的等价性例如矩阵范数

小结范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性和一般性矩阵范数的定义矩阵范数的性质矩阵范数定理：上的任意两个矩阵范数等价.

模

Question:极限的存在性？极限点在原空间Cauchy列Key：把不在原空间的“极限点”补充进去空间完备化

作业2：1.课堂小结2.课后作业第11~19题