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1.设d(n)为正整数n的正约数个数.求证：对任意正整数组
(a,b),都有
并求出所有使等号成立的正整数组(a,b).
3.设O为平面上的一个定点。在平面上有2024个红点、2024
个黄点和2024个绿点，其中任意三点不共线，且所有点都异于点
0.已知对于任意两种颜色，它们的所有点的凸包都包含点O(可
以在内部和边界)。如果一个红色点、一个黄色点和一个绿色点组
成的三角形的内部或边界包含点O,则称这个三角形为玻利维亚
三角形。求最大的正整数k,使得无论这些点的位置如何，总有至
少k个玻利维亚三角形。
4.将平面上的一些点按照如下规则染为红色：若点P,Q为红色，
点X满足△PQX的三个内角为30°,60°,90°的一个排列，则将
点X也染为红色.若点A,B,C均为红色，求证：△ABC的重
心也为红色.
和正整数x.每一次操作中，可以从黑板上的n+1个数中选择
可能值(用a?,a?,…,an表示),使得可以通过有限次操作，让
黑板上的数全部相同.
6.求所有由正整数构成的无限集A,满足条件：若a,b∈A,且
a≥b,则[;]∈A.
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