数学学案：课堂导学二维形式的柯西不等式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

一,利用二维形式的柯西不等式证明不等式

【例1】（1)如果a,b〉0，且a≠b,求证：a3+b3〉a2b+ab2.

（2）如果a，b0且a≠b，求证:a5+b5〉a3b2+a2b3.

证明:

(1)（a3+b3)（a2b+ab2)

=［（）2+(）2］［(）2+（）2］

≥（··b+··a）2

=（a2b+ab2)2，

“=”成立的条件是··a=··b,

即a=b时成立，但a≠b,故“＝”不成立.

∴(a3+b3）（a2b+ab2）(a2b+ab2）2.

∴a3+b3〉a2b+ab2.

（2)(a5+b5)(a+b)=[（)2+(）2］[（）2+（)2］

（·+·)2

=（a3+b3)2。

由（1)知a3+b3〉a2b+ab2,

∴(a5+b5)（a+b)〉(a2b+ab2)2

=a2b2（a+b）2.

∴a5+b5a2b2(a+b）=a3b2+a2b3.

∴原不等式成立。

温馨提示

要利用二维形式的柯西不等式，就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”（即两个数的乘积与另两个数的乘积之和的形式）.

各个击破

类题演练1

设a,b，c均为正实数，且acos2θ+bsin2θc.求证：cos2θ+sin2θ。

证明:∵acos2θ+bsin2θc（a，b,c〉0），

∴（cos2θ+sin2θ)2

=［(cosθ)·cosθ+（sinθ)·sinθ］2

≤［（cosθ)2+（sinθ）2］·(cos2θ+sin2θ)

=acos2θ+bsin2θ〈c。

故cos2θ+sin2θ.

变式提升1

证明下列不等式:

(1)a，b，c∈R+,（a+b+c）（)≥4.

（2)α为锐角，（1+)(1+）≥3+.

证明:(1）（a+b+c）（)=［(a+b）+c］()≥(1+1）2=4。

等号当且仅当=k(a+b)且=k·c时取得,

即（a+b)2=c2时取等号。

(2)(1+)（1+)≥(1+）2

=()2≥(1+)2

=3+，

等号当且仅当α=时取得，此时且sin2α=1.

二、利用二维形式的柯西不等式求最值

【例2】直线l经过第一象限内的点M（a，b)，与x，y轴的正半轴相交于点P,Q,求线段PQ的最小值，及取得最小值时直线的方程.

解析:设l的方程为=1（m，n0）,

则=1,

引进待定常数(a2α+b2α）(α∈R）。

由柯西不等式得

（m2+n2)（a2α+b2α)≥(maα+nbα)2

=(maα+nbα）2·12

=(maα+nbα)2(）2

=［(maα+nba）（）］2

≥[（)2］2

=（)4.

当且仅当时,第一个不等式取等号;当且仅当

即时,第二个不等式取等号.

因此当且仅当两个等号同时成立时,

即α=,亦即α=时，(）(）≥（）4取等号.

所以｜PQ｜=≥(）,

|PQ｜min=().

此时k=,

∴l：y—b=（x-a）。

类题演练2

设x〉0，y0,x+y≤4,求的最小值.

解析：4（）≥（x+y)（)

≥（1+1)2=4,

∴的最小值为1。

等号当且仅当x=y=2时取得。

变式提升2

求椭圆=1的切线夹在两条坐标轴之间的线段的最小值。

解析：设M（x0，y0）是椭圆上任一点,

则=1.

经过M点的切线为l:=1,

l与x,y轴分别相交于点P（,0),Q(0,).

|PQ|2=（）2+（）2

=［(）2+（）2]（)

≥（·+）2

=（a+b)2.

当且仅当

即|x0｜=，｜y0|=时等号成立.

于是|PQ｜min=a+b。

三、利用二维柯西不等式解决其他问题

【例3】求经过点P（5,1）与椭圆=1相切的切线方程.

解析：

设直线方程为Ax+By+C=0，

由经过点P(5,1)得C=-(5A+B）。

于是直线方程可表示为

A（x—2）+B(y+3）=3A+4B.

由柯西不等式得

(3A+4B)2=［A（x—2)+B（y+3）]2

=［3A·+2B·]2

≤(9A2+4B2)［］

=9A2+4B2。

直线与椭圆相切时不等式取等号,

即（3A+4B)2=9A2+4B2，

解得B=0或B=—2A。

所以要求的切线方程为x-5=0和x—2y—3=0.

温馨提示

研究直线与圆锥曲线的常规方法是采用代入消元,化为一元二次方程,然后利用根的判别式求解,因这类问题常含有待定字母，导致解题过程冗长,计算烦琐.本例引用柯西不等式解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以减少计算，增强直观.一些题目通过观察，简单拼凑,即可达到目的,并且解题后易于复查。因此,适当引用柯西不等式解决几何中的含参数问题,确实是一个十分有效的好方法.

类题演练3

已知直线y=（1-x）tanθ