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高斯消元法解线性方程组

在工程技术与工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型得数学模型,这些模型中方程与未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同.那么这样得线性方程组就是否有解呢？如果有解，解就是否唯一？若解不唯一，解得结构如何呢？这就就是下面要讨论得问题.

一、线性方程组

设含有n个未知量、有m个方程式组成得方程组

（3、1）

其中系数，常数都就是已知数,就是未知量（也称为未知数）。当右端常数项，，…，不全为0时,称方程组（３、１)为非齐次线性方程组；当==…＝=0时,即

（3、2）

称为齐次线性方程组.

由n个数,,…,组成得一个有序数组（，，…，),如果将它们依次代入方程组(3、１)中得，，…,后，(3、1）中得每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（，，…，)为方程组（3、1)得一个解。显然由=0,=0,…,=0组成得有序数组（0，0,…，0）就是齐次线性方程组(３、２)得一个解，称之为齐次线性方程组(3、２）得零解，而当齐次线性方程组得未知量取值不全为零时,称之为非零解.

（利用矩阵来讨论线性方程组得解得情况或求线性方程组得解就是很方便得。因此,我们先给出线性方程组得矩阵表示形式。)

非齐次线性方程组(3、1)得矩阵表示形式为：

AX=Ｂ

其中

A＝，X＝，B=

称A为方程组(3、１）得系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵Ａ与常数矩阵B放在一起构成得矩阵

=

称为方程组（３、1)得增广矩阵。

齐次线性方程组（3、2)得矩阵表示形式为:ＡＸ=O

二、高斯消元法

(下面介绍利用矩阵求解方程组得方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组得解呢?我们先瞧一个定理。)

定理３、1若用初等行变换将增广矩阵化为,则AＸ=Ｂ与CX=D就是同解方程组。

证由定理3、1可知，存在初等矩阵,，…,,使

…＝

记…=P，则P可逆,即存在。

设为方程组AX＝Ｂ得解,即

A＝B

在上式两边左乘Ｐ,得

PA=PB

即

Ｃ＝D

说明也就是方程组CX＝D得解。反之，设为方程组CX＝D得解,即

C=D

在上式两边左乘，得

C=D

即

A=B

说明也就是方程组AX＝Ｂ得解。

因此,方程组AX=B与CX=D得解相同，即它们就是同解方程组。（证毕）

(由定理3、1可知,求方程组(3、