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浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列

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计量经济学讲义

浙江工商大学金融学院姚耀军

目录

第一讲OLS的代数 2

第二讲OLS估计量 17

第三讲假设检验 33

第四讲异方差 63

第五讲自相关 81

第六讲多重共线 106

第七讲虚拟变量 121

第八讲时间序列初步：平稳性与单位根 133

第九讲协整与误差修正模型 157

第十讲ARCH模型及其扩展 164

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第一讲OLS的代数

一、问题

假定y与x具有近似的线性关系：y=β0+β1x+ε,其中ε是随机误差项。我们对β0,β1这两个参数的值一无所知。我们的任务是利用样本去猜测β0,β1的取值。现在，我们手中就有一个样本容量为N的样本，其观测值是：(y1x1),(y2x2),...,(yNxN)。问题是，如何利用该样本来猜测β0,β1的取值？

一个简单的办法是，对这些观察值描图，获得一个横轴x，纵轴y的散点图。既然y与x具有近似的线性关系，那么我们就在散点图中拟合一条直线：

=+x。该直线是对y与x的真实关系的近似，而,分别是对β0,β1的猜测（估计）。问题是，如何确定与，以使我们的猜测看起来是合理的呢？

二、OLS的两种思考方法

法一：

(y1y2,...,yN)’与(12,...,N)’是N维空间的两点，

与的选择应该是这两点的距离最短。这可以归结

为求解一个数学问题：

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在这里yi-i定义了残差i。

法二：

给定xi，看起来yi与i越近越好（最近距离是0）。

然而，当你选择拟合直线使得yi与i是相当近的时候，

yj与j的距离也许变远了，因此，存在一个权衡。一

种简单的权衡方式是，给定x1,x2,..,xN，拟合直线的选

择应该使y1与2、y2与2、...、yN与N的距离的平均

值是最小的。距离是一个绝对值，数学处理较为麻烦，因此，我们把第二种思考方法转化求解数学问题：

由于N为常数，因此上述两个数学问题对于求解与的值是无差异的。

三、求解

定义利用一阶条件，有：

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c

Σi=0

→Σ(yi--xi)xi=0(2)

c

Σixi=0

方程（1）与（2）被称为正规方程。由（1），有：

把=y-x带入（2），有：

关于正规方程的直觉：

无论用何种估计方法，我们都希望残差所包含的信息价值很小，如果残差还含有大量的信息价值，那么该估计方法是需要改进的！对模型y=β0+β1x+ε利用

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OLS，至少我们能保证（1）：残差均值为零；（2）残差与解释变量x不相关【一个变量与另一个变量相关是一个重要的信息】。

练习：

(1)利用离差之和为零的代数性质，验证：

补充：定义y与x的样本协方差为：

的样本方差为

我们用δxy表示总体协方差，δ表示总体方差。上述

定义的样本协方差及其样本方差分别是对总体协方差及其总体方差的一个有偏估计；

sxy=及其

才分别是对总体协方

差及其总体方差的一个无偏估计。

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(2)假定y=βx+ε,用OLS法拟合一个过原点的直线：

=x，求证在OLS法下有：

并验证：Σyi2=Σy?i2+Σ2

笔记：

①现在只有一个正规方程，该正规方程同样表明Σixi=0。

②无截距回归公式的一个应用

假定y与x真实的关系是：

yi=β0+β1xi+εi(1)

U

y=β0+β1x+ε(2)

Fi

Fiiei

即，Fi=β1Di+ei（3）

对（3），按照无截距回归公式，有：

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(3)假定y=β+ε,用OLS法拟合一水平直线，即：

=,求证=y。

四、一些基本的性质

对于简单线性回归模型：y=β0+