2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题01 集合下的新定义（四大题型）（教师版）.docx

专题1集合下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：定义新概念

题型二：定义新运算

题型三：定义新性质

题型四：定义新背景

【方法技巧与总结】

1、解答新定义型创新题的基本思路是：

(1)正确理解新定义；

(2)根据新定义建立关系式；

(3)结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

(4)运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．

2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．

3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．

4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．

【典型例题】

题型一：定义新概念

【典例1-1】(2024·高三·浙江·阶段练习)设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数

(1)已知集合，集合，分别求解．

(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”

①求的最大值(无需证明)．

②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．

【解析】(1)已知集合的非空子集有15个：

计算可得，即．

集合的非空子集有15个：

计算可得，即

(2)①集合共有个非空子集，的最大值为

②，

即证

不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为

集合是极异集合，，代表有个不同的正整数，

即，

所以中有个元素，由元素互异性可得

又，即可得，

因此数列的前项和.

【典例1-2】(2024·北京·模拟预测)已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.

(1)若，直接写出所有满足条件的集合；

(2)若，且对任意，都有，求的最大值；

(3)若且对任意，都有，求的最大值.

【解析】(1)因为，则和的元素个数均为1，

又因为，则，

若，，则或；

若，，则或；

综上或或或.

(2)集合共有32个不同的子集，

将其两两配对成16组，

使得，则不能同时被选中为子集，故.

选择的16个含有元素1的子集:，符合题意.

综上，.

(3)结论:，令，集合符合题意.

证明如下：

①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集，

所以除外的子集至多有个，故.

②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类:

或，和或，

其中互不相同，互不相同且均不为1，2.

若，则，有

若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素(不是2)，且互不相同，

因为中除2外至多还有2个元素，所以.

所以.

③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类：

，其中.

若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)，

所以.

若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5，

又中除1外无其它公共元素，所以.

所以.

综上，.

【变式1-1】(2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习)设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：

①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.

(1)若集合，求的“集”；

(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；

(3)若存在“集”，且，求的最大值.

【解析】(1)

若，由题意可得，，，，即，此时，满足题意，

假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，∴不成立；

若，则，∴或9或27，矛盾.故集合中无四个元素，所以集合.

(2)设集合，不妨设，

假设，即，则且，

由②知，注意到，故有，即，所以，

故，即，因为集合中有4个元素，故设，

由②可得：若，则，∴，矛盾；

若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾，

假设错误，故.

(3)，，不妨设，

所以，，又，故，同理可得，

若，与(2)类似得，从而必有，

对任意的，有，即，所以，即.

若，即，，故，，，，

所以，即，从而必有，

对任意的，必有，即，所以，即.

综上，得，又时，有，符合题意，

所以的最大值为4

题型二：定义新运算

【典例2-1】(2024·高三·全国·专题练习)设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则．

(1)若是直线上所有点的集合,计算的值．

(2)对(1)中的点集,能否确定(其中)的值？

(3)对(1)中的点集,若,请你写出实数,,可能的值．

【解析】(1)由运算“”的定义知,.

(2)∵,即点在直线上,∴,得．

同理由,得．

由运算“”的定义知,．

所以可以确