2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题01 集合下的新定义（四大题型）（学生版）.docxVIP

专题1集合下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：定义新概念

题型二：定义新运算

题型三：定义新性质

题型四：定义新背景

【方法技巧与总结】

1、解答新定义型创新题的基本思路是：

(1)正确理解新定义；

(2)根据新定义建立关系式；

(3)结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

(4)运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．

2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．

3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．

4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．

【典型例题】

题型一：定义新概念

【典例1-1】(2024·高三·浙江·阶段练习)设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数

(1)已知集合，集合，分别求解．

(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”

①求的最大值(无需证明)．

②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．

【典例1-2】(2024·北京·模拟预测)已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.

(1)若，直接写出所有满足条件的集合；

(2)若，且对任意，都有，求的最大值；

(3)若且对任意，都有，求的最大值.

【变式1-1】(2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习)设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：

①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.

(1)若集合，求的“集”；

(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；

(3)若存在“集”，且，求的最大值.

题型二：定义新运算

【典例2-1】(2024·高三·全国·专题练习)设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则．

(1)若是直线上所有点的集合,计算的值．

(2)对(1)中的点集,能否确定(其中)的值？

(3)对(1)中的点集,若,请你写出实数,,可能的值．

【典例2-2】(2024·全国·模拟预测)对于非空集合，定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：

1、(封闭性)对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；

2、(结合律)对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；

3、(恒等元)存在，使得对任意，；

4、(逆的存在性)对任意，都存在，使得．

记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群(或交换群)．

(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；

(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；

(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．

【变式2-1】(2024·高三·全国·专题练习)已知数集及定义在该数集上的某个运算(例如记为“*”)，如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．

(1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？

(2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．

题型三：定义新性质

【典例3-1】(2024·高三·北京海淀·阶段练习)已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．

(1)分别判断数集与是否具有性质；

(2)求证：；

(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．

【典例3-2】(2024·高二·北京海淀·期中)给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．

(1)判断集合是否具有性质？说明理由；

(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．

【变式3-1】(2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习)已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.

(1)集合具有性质，求的最小值；

(2)已知具有性质，求证：；

(3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.

题型四：定义新背景

【典例4-1】(2024·全国·模拟预测)拓扑学是一个研究图形(或集合)整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量(距离)并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．

(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集