2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题02 函数与导数下的新定义（七大题型）（教师版）.docx

专题02函数与导数下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：曲率与曲率半径问题

题型二：曼哈顿距离与折线距离

题型三：双曲正余弦函数问题

题型四：凹凸函数

题型五：二元函数问题

题型六：切线函数新定义

题型七：非典型新定义函数

【方法技巧与总结】

1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．

2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．

结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则

结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．

【典型例题】

题型一：曲率与曲率半径问题

【典例1-1】(2024·高三·重庆·阶段练习)定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；

(1)求实数a的值；

(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；

(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．

【解析】(1)由已知，

所以，解得(舍去)，

所以；

(2)由(1)得，，

则，

对任意的，，即恒成立，

令，则，不等式恒成立，

当时，，原不等式化为，

令，

则

，

所以在区间单调递增，所以，

所以，

综上所述，实数m的取值范围为；

(3)，证明如下：

由已知方程可化为，

令，则，

因为，所以，

所以，所以在区间上单调递减，

故

，

，

所以存在唯一，使得，

又，，

则

由单调递减可得，

所以.

【典例1-2】(2024·浙江温州·二模)如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：

①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；

②圆与曲线在点处有相同的切线；

③曲线的导函数在点处的导数(即曲线的二阶导数)等于圆在点处的二阶导数(已知圆在点处的二阶导数等于)；

则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线的曲率半径的最小值；

(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．

【解析】(1)

记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．

则，，

故，，即，

所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；

(2)设曲线在的曲率半径为．则

法一：，

由知，，

所以，

故曲线在点处的曲率半径，

所以，则，

则，当且仅当，即时取等号，

故，曲线在点处的曲率半径．

法二：，，

所以，而，

所以，解方程可得，

则，当且仅当，即时取等号，

故，曲线在点处的曲率半径．

(3)法一：函数的图象在处的曲率半径，

故，

由题意知：??令，

则有，

所以，即，故．

因为，所以，

所以，

所以．

法二：函数的图象在处的曲率半径，

有

令，则有，

则，故，

因为，所以，

所以有，

令，则，即，

故，所以，即；

法三：函数的图象在处的曲率半径．

故

设，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故有，

所以，

要证，即证，

即证??将，

下证：当时，有，

设函数(其中)，

则，

故单调递增，，

故，所以．

法四：函数的图象在处的曲率半径，

有，

设．

则有，

所以当时，当时，

故在上单调递减，在上单调递增．

故有，

所以，

要证，即证，

即证．将，

下证：当时，有，

设函数(其中)，

则，

故单调递增，故，

故，所以．

【变式1-1】(2024·高三·浙江宁波·期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为(它等于的倾斜角与的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数)

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2)求椭圆在处的曲率；

(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

【解析】(1)．

(2)，，，

故，，故．

(3)，，故，其中，

令，，则，则，其中(不妨)

令，在递减，在递增，故；

令，

，令，

则，当时，恒成立，故在上单调递增，

可得，即，

故有，

则在递增，

又，，故，

故．

【变式1-2】(2024·高三·辽宁·期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是