2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题03 概率与统计下的新定义（五大题型）（教师版）.docx

专题03概率与统计下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：二项式定理新定义

题型二：排列组合新定义

题型三：概率新定义

题型四：统计方法新定义

题型五：信息熵问题

【方法技巧与总结】

解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．

【典型例题】

题型一：二项式定理新定义

【典例1-1】(2024·湖南衡阳·二模)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：(为的质因数个数，为质数，)，例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数

(1)求；

(2)若正整数互质，证明：；

(3)若且，记的所有真因数(除了1和以外的因数)依次为，证明：．

【解析】(1)因为，易知，

所以；

又，因为5的指数，所以；

(2)①若或，因为，所以；

②若，且存在质数，使得或的质因数分解中包含，则的质因数分解中一定也包含，

所以，

③若，且不存在②中的，可设，

其中均为质数，则，

因为互质，所以互不相等，

所以，

综上可知

(3)由于，所以可设，为偶数，

的所有因数，除了1之外都是中的若干个数的乘积，从个质数中任选个数的乘积一共有种结果，

所以

，

所以．

【典例1-2】(2024·安徽合肥·一模)“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意，

(1)计算：；

(2)证明：对于任意，

(3)证明：对于任意，

【解析】(1)由定义可知，

.

(2)因为，

.

又

,

所以

(3)由定义得：

对任意.

结合(2)可知

即，

也即.

所以，

，

……

.

上述个等式两边分别相加得：

.

【变式1-1】(2024·高三·江苏苏州·阶段练习)甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制)；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小(弧度制).

(1)比较三种随机变量的数学期望大小；(参考数据)

(2)现单独研究棱长，记(且)，其展开式中含项的系数为，含项的系数为.

①若，对成立，求实数，，的值；

②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立.

【解析】(1)如图所示：

由题意设为正四棱锥的高，为中点，

由于正四棱锥的底面边长和高都是2，

所以，所以，

由对称性以及三线合一可知，

若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，

则的所有可能取值为，

且，

所以，

若乙从正四棱锥(和甲研究的四棱锥一样)的8条棱中任取2条，

则的所有可能取值为，

，

代入参考数据，得，

若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，

则的所有可能取值为，

，

所以.

(2)①因为中项的系数为，

一般地，从中的第个因式中取一个，其余因式中取常数即可得到一个项，

而这一项的系数为，，

因为中项的系数为，

一般地，从中的第个因式中各取一个，其余因式中取常数即可得到一个项，

而这一项的系数为，从而，

从而，

，

由题意得，解得；

②用数学归纳法证明：且时，.

当时，，故结论对成立，

假设结论对成立，即，

则

，

所以结论对也成立，

故，对任意成立.

题型二：排列组合新定义

【典例2-1】(2024·高三·北京·阶段练习)设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，定义.

(1)当时，若，直接写出所有使同时成立的的元素；

(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素.求集合中元素个数的最大值；

(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.

【解析】(1)

满足条件的有

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

又，

满足条件的有

1

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

(2)列出集合A的元素

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素α，β，d(α，β)≥2

满足条件的集合B的元素的个数的最大值为4.

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

(3)d(α，β)≥2

B中的元素应该含有奇数个1

若n=2，则含有奇数个1的元素有