2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题07 线性代数背景下的新定义（三大题型）（学生版）.docxVIP

专题07线性代数背景下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：行列式背景

题型二：矩阵背景

题型三：向量组背景

【典型例题】

题型一：行列式背景

【典例1-1】(2024·高三·云南曲靖·阶段练习)定义行列式运算：，若函数??(，)的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.

(1)求函数的单调增区间；

(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.

【典例1-2】(2024·高一·北京·期末)对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式(determinant)，记作，

(1)求下列行列式的值：

①；②；③；

(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；

(3)讨论关于x，y的二元一次方程组()有唯一解的条件，并求出解.(结果用二阶行列式的记号表示).

【变式1-1】(2024·高二·全国·单元测试)我们用(，、、、)表示矩阵的第行第列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，.

(1)求；

(2)求关于，的关系式；

(3)设行列式，求证：对任意、，、、时，都有.

题型二：矩阵背景

【典例2-1】(2024·广东·一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为(其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号)，记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.

(1)，，矩阵，求使的的最小值.

(2)，，，矩阵求.

(3)矩阵，证明：，，.

【典例2-2】(2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试)由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．

(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；

(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．

(i)求；

(ii)已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．

【变式2-1】(2024·高二·北京丰台·期末)已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．

(1)若数表，，且是，的生成数表，求；

(2)对，，

数表，，与满足第i行第j列的数对应相同().是，的生成数表，且．

(ⅰ)求，；

(ⅱ)若恒成立，求的最小值．

【变式2-2】(2024·高二·北京·学业考试)已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.

①任意中有三个，一个3；

②存在，使中恰有三个数相等.

(1)判断数表是否由生成；(结论无需证明)

(2)是否存在数表由生成？说明理由；

(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.

题型三：向量组背景

【典例3-1】(2024·高一·上海·阶段练习)对于一组向量，，，…，，(且)，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．

(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；

(2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由；

(3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与(且)关于点对称，求的最小值．

【典例3-2】(2024·高一·上海奉贤·期末)对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”

(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；

(2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．

【变式3-1】(2024·高三·上海宝山·期末)对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.

(1)设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；

(2)若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；

(3)已知??均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.

【过关测试】

1．(2024·高一·四川成都·期中)定义行列式运算：，若函数()的最小正周期是.

(1)求函数的单调增区间；

(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.

2．(2024·高二·上海宝山·阶段练习)已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．

(1)行列式，且，求证：数列是等差数列；

(2)在(1)的条件下，若不是常数列，是等比数列，

①求和的通项公式；

②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．

3．(2024·高一·吉林延边·期中)已知定义