2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题08 高等背景下概率论的新定义（七大题型）（学生版）.pdfVIP

专题高等背景下概率论的新定义

08

【题型归纳目录】

题型一：切比雪夫不等式

题型二：马尔科夫链

题型三：卡特兰数

题型四：概率密度函数

题型五：二维离散型随机变量

题型六：多项式拟合函数

题型七：最大似然估算

【典型例题】

题型一：切比雪夫不等式

【典例】浙江二模某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为合格

1-1(2024··)82

品，小于为次品，现抽取这种元件件进行检测，检测结果统计如下表：

82100

测试指标20,7676,8282,8888,9494,100

元件数件

()121836304

(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；

(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

2

2

EXDXPx

若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有2成立.



11

(i)若X~B100,，证明：P(0X25)；



250

(ii)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的若该工.

厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合切比雪夫不等式说明该工厂所提供的合

90%“”

格率是否可信？(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)

【典例1-2】(2024·吉林长春·模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数

学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式．马尔科夫不

等式的形式如下：

EX

EX0

设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，

XPX





马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期

望间的关系．当为非负离散型随机