矢量运算法则.ppt

柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式第32页,共40页，星期六，2024年，5月六、矢量场的旋度1.环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。2.旋度:定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：第33页,共40页，星期六，2024年，5月旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：其中：为x方向的环量密度。旋度可用符号表示：第34页,共40页，星期六，2024年，5月其中：可得：同理：所以：旋度公式：第35页,共40页，星期六，2024年，5月为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。第36页,共40页，星期六，2024年，5月3.斯托克斯定理：物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。第37页,共40页，星期六，2024年，5月七、重要的场论公式1.两个零恒等式任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。第38页,共40页，星期六，2024年，5月在圆柱坐标系中：在球坐标系中：在广义正交曲线坐标系中：2.拉普拉斯算子在直角坐标系中：第39页,共40页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第40页,共40页，星期六，2024年，5月电磁场与电磁波第1章矢量分析关于矢量运算法则一、矢量和标量的定义1.标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、电场等如：温度T、长度L等第2页,共40页，星期六，2024年，5月例1：在直角坐标系中，x方向的大小为6的矢量如何表示？图示法：力的图示法：第3页,共40页，星期六，2024年，5月二、矢量的运算法则1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：第4页,共40页，星期六，2024年，5月三个方向的单位矢量用表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：第5页,共40页，星期六，2024年，5月矢量：?模的计算：?单位矢量：?方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：第6页,共40页，星期六，2024年，5月2.减法：换成加法运算逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。第7页,共40页，星期六，2024年，5月3.乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：?两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。第8页,共40页，星期六，2024年，5月在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。第9页,共40页，星期六，2024年，5月推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。第10页,共40页，星期六，2024年，5月在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo第11页,共40页，星期六，2024年，5月（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点