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2010-2023历年江苏省苏州市高三上学期期中测试数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.已知函数，若存在两个不相等的实数，使得，则的取值范围为?????．

2.函数的最大值是?????．

3.（不等式选讲）（本小题满分10分）已知a，b是正实数，求证：．

4.“，”的否定是?????．

5.（几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求证：AB·CD=BC·DE．

6.如图，在中，已知，是边上一点，，，，则?????．

7.已知正实数满足，则的最小值为?????．

8.已知直线与在点处的切线互相垂直，则?????．

9.（矩阵与变换）（本小题满分10分）已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．

10.（本题满分16分）已知函数，，．

（1），，求值域；???????????????????

（2），解关于的不等式．

11.（极坐标与参数方程）（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．

12.已知且，则＝?????．

13.已知，若，则?????．

14.等差数列中，则该数列前十项的和?????．

15.若关于x的不等式ax2＋x－2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为?????．

16.已知平行四边形中，，，则平行四边形的面积为?????．

17.（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

18.（本题满分14分）如图，已知海岛到海岸公路的距离为，，间的距离为，从到，必须先坐船到上的某一点，船速为，再乘汽车到，车速为，记．

（1）试将由到所用的时间表示为的函数；

（2）问为多少时，由到所用的时间最少？

19.（本小题满分10分）某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员．

（1）求甲、乙同时去班听课的概率；

（2）设随机变量为这五名评估员去班听课的人数，求的分布列和数学期望．

20.（本题满分16分）已知等差数列，其前项和为.若,．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为；

①求数列的通项公式；

②记，数列的前项和为，求所有使得等式成立的正整数，．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：试题分析：根据题意这是一个分段函数，当时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为：；当时，是一个一次函数。当时，如图（1）所示，符合题意；当时，如图（2）所示，符合题意；当时，如图（3）所示，此时函数在R上单调递减，综合上述三种情形，则得：.

考点：1.分段函数；2.函数的图象和性质

2.参考答案：试题分析：可将函数化简得：，又由周期公式可得：.

考点：三角函数的周期

3.参考答案：详见解析试题分析：观察题中所证不等式的特征，可想到运用基本不等式进行证明，由a，b是正实数，符合运用不等式的条件，可证得:和，一定要注意等号成立的条件：当a＝b时，以上两个不等式均取等号．两式相乘即可得证.

试题解析：∵a，b是正实数，?????????????

∴，．

当a＝b时，以上两个不等式均取等号．

相乘，得．

考点：基本不等式的应用

4.参考答案：使试题分析：根据含有量词的否定命题的规则，可写出：使.

考点：含有量词的否定

5.参考答案：详见解析试题分析：根据题意结合圆的性质，由相交弦定理，得AC·CD=MC·NC，和BC·CE=MC·NC．化简即可得：AC·CD=BC·CE，对其整理即可（AB+BC）·CD=BC·（CD+DE），也即AB·CD+BC·CD=BC·CD+BC·DE，问题得证.

试题解析：证明：由相交弦定理，得

AC·CD=MC·NC．

BC·CE=MC·NC．????????

∴AC·CD=BC·CE．??????

即（AB+BC）·CD=BC·（CD+DE）．

也即AB·CD+BC·CD=BC·CD+BC·DE．

∴AB·CD=BC·DE．??????

考点：圆的相交弦定理

6.参考答案：试题分析：在中，由余弦定理可得：，则，故，在中，由正弦定理可得：，可解得：.

考点：1.正弦定理的运用；2.余弦定理的运用

7.参考答案：试题分析：观察题中条件和所求问题的形式，可得：，由基本不等式可得：，则有：.

考点：1.基本不等式的应用；2.代数式的处理能力

8.参考答案：试题分析：对函数求导可得：，则在点处的切线的斜率为：，又直线与它垂直，