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2010-2023历年江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.设数列的前项和为，对任意满足，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

2.已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是?????．

3.已知实数满足不等式组，则的最大值是?????．

4.已知双曲线的离心率为2，则的值为______．

5.已知函数，则满足的的取值范围是______．

6.已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．

7.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．

8.如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为，则三棱锥和的体积比????????.

9.已知矩阵，，求矩阵

10.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为______.

11.已知是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为．若四边形的最小面积为2，则=????????．

12.设实数满足，求证：．

13.已知椭圆的长轴两端点分别为，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交于点．

（Ⅰ）如图（1），若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，点到直线的距离为，求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图（2），若，试证明：成等比数列．

14.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．

（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

15.如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面．

16.若，则的最小值为???????．

17.已知集合，，则????????.

18.在平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，是轴上的两点，过点分别作轴的垂线，与曲线分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．

19.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为______.

20.已知：如图，点在上，，平分，交于点．求证：为等腰直角三角形．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；

2.参考答案：－2试题分析：由两函数的图象的对称轴完全相同知，图象的一条对称轴为，所以，得，所以.

考点：三角函数的图象与性质.

3.参考答案：试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为四边形及其内部，的几何意义为直线在轴上的截距，由图可知，当直线经过点时，截距最大，解方程得，所以.

考点：简单的线性规划.

4.参考答案：3试题分析：由题意得，，，根据双曲线离心率，得．

考点：双曲线的离心率.

5.参考答案：试题分析：解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是.

考点：分段函数的意义、解不等式.

6.参考答案：试题分析：所取的值有6种等可能的结果：，，，，，，使函数为偶函数的所取的值有，，所以所求的概率为.

考点：幂函数、函数的奇偶性.

7.参考答案：内含试题分析：先化为直角坐标方程，再由圆心距和两圆半径关系判定.

试题解析：由得曲线的直角坐标方程为．???????????????2分

由得曲线的直角坐标方程为．???????????????5分

曲线表示以为圆心，5为半径的圆；曲线表示以为圆心，2为半径的圆．

因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3，?????????????????????????????8分

所以圆和圆的位置关系是内含．???????????????????????????????????10分

考点：极坐标方程化为直角坐标方程、圆与圆的位置关系.

8.参考答案：试题分析：点到的距离之比为，所以，又直四棱柱中，，，所以，于是.

考点：直棱柱的定义、棱锥体积公式.

9.参考答案：试题分析：先用待定系数法求出，再求出.

试题解析：设矩阵的逆矩阵为，则，????????????1分

即，????????????????????????????????????????????????4分

故，从而的逆矩阵为．?????????????7分

所以．???????????????????????????????10分

考点：矩阵的乘法、逆矩阵.

10.参考答案：54试题分析：设的公比为，由，得，所以，显然，，令，则，设函数，，易知当时为减函数，当时，为增函数，所以的最小值为，故的最小值为54.

考点：等比数列、函数的最值.

11.参考答案：2试题分析：圆的圆心为，半径为1，因为四边形的面积