《应用数值分析》课件数值分析5.3线性方程组的数值解法.pptx

第5章线性方程组的数值解法

§5.3Gauss消元法

用消元法解方程组第2步.解第1步.得等价的三角形方程组解为上述过程相当于例1其中表示矩阵的第行.

1)消元过程

2024/11/23线性方程组的直接解法11Gauss消去法算法消元计算forforfor回代求解for

2024/11/23线性方程组的直接解法12计算量/*AmountofComputation*/由于计算机中乘除/*multiplications/divisions*/运算的时间远远超过加减/*additions/subtractions*/运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。?GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n?1步(n?k)次(n?k)2次(n?k)次(n?k)(n?k+2)次消元乘除次数：1次(n?i+1)次回代乘除次数：

2024/11/23线性方程组的直接解法13计算量/*AmountofComputation*/由于计算机中乘除/*multiplications/divisions*/运算的时间远远超过加减/*additions/subtractions*/运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。?GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n?1步(n?k)(n?k+2)次消元乘除次数：回代乘除次数：GaussianElimination的总乘除次数为，运算量为级。n=20时,顺序Gauss消去法需3060次乘除法运算.

定理1设其中(1)如果将约化为等价的三角形方程组则可通过高斯消去法(2)如果为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组约化为？矩阵在什么条件下才能保证

归纳法当时，成立.设时结论成立，即证明:充分性.且有可用高斯消去法将约化到，有即定理2约化的主元素的充要条件是矩阵的顺序主子式即由假设推出必要性.

例2求解方程组用4位浮点数进行计算.精确解舍入到4位有效数字为解法1用高斯消去法计算解

显然计算解是一个很坏的结果，不能作为方程组的近似解.原因：在消元计算时用了小主元0.001，使得约化后的方程组元素数量级大大增长，经再舍入使得计算时发生了严重的相消情况，因此经消元后得到的三角形方程组就不准确了.

解法2计算解为交换行，避免绝对值小的主元作除数.

每一步选取系数矩阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性.