山东大学自动控制原理相平面法.pptVIP

自动控制原理课件;7．3相平面法;7.3.1相平面法的根本概念;用x1、x2描述二阶系统常微分方程方程的解，也就是用质点的状态来表示该质点的运动。

在物理学中，状态又称为相。

把由x1—x2所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一个状态那么对应于相平面上的一个点。

当t变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为相轨迹。;绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。

1.解析法

解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时一般有二种方法：一种是对式〔7-35〕直接进行积分。显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t，从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。;[例7-5]二阶线性系统当?=0时的微分方程式为;2.图解法

目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和?法。下面介绍等倾线法。等倾线法的根本思想是采用直线近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，那么该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。

设系统的微分方程式为;对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都等于a。假设将这些具有相同斜率的点连成一线，那么此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的a值，那么可在相平面上画出相应的等倾线。;利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是：

(1)先求系统的等倾线方程；

(2)根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图；在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，那么构成相轨迹的切线方向场。

(3)利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线。;[例7-6]二阶线性系统的微分方程式为

试用等倾线法绘制其相轨迹。;假设由初始条件确定的点为图中的A点。那么过A点作斜率为[(?1)+(?1.2)]/2=?1.1的直线，与a=?1.2的等倾线交于B点。再过B点作斜率为的[(?1.2)+(?1.4)]/2=?1.3直线，与a=?1.4的等倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即得系统近似的相轨迹。;1〕横坐标与纵坐标轴应选相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；

2〕在相平面的上半平面，由于x?0，那么x随t增大而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面，由于x?0，那么x随t增大而减小，相轨迹的走向应是由右向左；总之，相轨迹上的箭头方向总是按顺时针方向。

3〕除平衡点〔dx?/dx=0/0〕外，相轨迹与x轴的相交处切线斜率应为+?或??，即相轨迹与x轴垂直相交；

4〕等倾线法的准确度，取决于等倾线的分布密度。为保证一定的绘制准确度，一般取等倾线的间隔以5?~10?为宜。

5〕对于线性系统，等倾线是简单的直线。对于非线性系统，等倾线不再是简单的直线而是曲线。;3.实验法

对一个实际的系统，如果把x和x?直接测量出来，并分别送入一个示波器的水平和垂直信号的输入端，便可在示波器上直接显示出系统的相轨迹曲线，还可以通过X—Y记录仪记录下来。用实验的方法，不仅可以求得一条相轨迹，并且也可以屡次地改变初始条件而获得一系列的相轨迹，从而得到完整的相平面图。这对于非线性系统的分析和研究是极为方便的。;7．3．3线性系统的相平面图;1.线性一阶系统

描述线性一阶系统自由运动的微分方程为

相轨迹方程为;2。线性二阶系统

描述线性二阶系统自由运动的微分方程为;其中k为等倾线的斜率。当b2?4c0，且c?0时，可得满足k=a的两条特殊的等倾线，其斜率为;1〕c0。系统特征根s1，s2为两个符号相反的互异实根，s10，s20，系统相平面图：;2〕c=0。系统特征根s1=0，s2=?b，相轨迹方程为;3〕c0。并分以下几种情况加以讨论：

①0?1。系统特征根为一对具有负实部的共轭复数根。由时域分析结果知，系统的零输入响应为衰减振荡形式。相轨