天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学 含解析.docx

2024~2025学年度第一学期期中重点校联考

高二数学

出题校：芦台一中 宝坻一中

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）

1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）.

A. B. C. D.

2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（）.

A. B. C. D.

3.方程表示椭圆的充要条件是（）.

A. B.或

C. D.

4.若直线与平行，则的值为（）.

A.0 B.2 C.3 D.2或3

5.已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（）.

A. B.

C. D.

6.已知圆，若直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（）.

A. B. C. D.3

7.如图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，动点在体对角线上，则顶点到平面距离的最大值为（）.

A. B. C. D.

8.已知直线与直线交于点，若点，则的最小值为（）

A. B.2 C. D.

9.已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）

10.已知，，.则_____.

11.直线过点（－1，2），且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____.

12.若直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则_____.

13.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_____.

14.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为_____.

15.已知是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为_____.

三、解答题（本题共75分）

16.（14分）直线过点且与直线垂直.

（1）求直线的方程；

（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.

17.（15分）如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求点到平面的距离.

18.已知椭圆经过点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.

19.（15分）如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

20.（16分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.

（1）求的方程；

（2）直线交于，两点.

（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；

（ii）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.

2024－2025年度上学期高一年级期中考试

数学参考答案

1.C因为，，所以.

2.C因为是幂函数，所以，得，则，.

3.A由，得或，故“”是“”的充分不必要条件.

4.B设，则由，得，即，则得则，.

5.D设每束鲜花的售价降低元，则花店该品种鲜花的日销售额，故当，即每束鲜花的售价为34元时，花店该品种鲜花的日销售额最大.

6.C由题可知的定义域为，且，所以是奇函数，排除A，B.当时，，排除D.故选C.

7.B因为的定义域为，所以在中，，则，则在中，，则.又，所以的定义域为.

8.A由，得，则，当且仅当时，等号成立.

9.ABC空集是任何集合的子集，A正确.“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”，B正确.若，则，当且仅当时，等号成立，故“”是“”的一个充分条件，C正确.取，则，，D不正确.

10.ACD因为关于的不等式的解集为（1，2），所以整理得

则.由，解得

.由，解得，则.故选ACD.

11.AC由，得，则，整理得.令函数，则由，得，从而在上单调递增，则，即，即，A正确，B不正确.因为，所以，则，即，C正确.与的大小关系不确定，D不正确.

12.－2若则或当时，，此时；当时，，不符合集合元素的互异性.若则不符合集合元素的互异性.

13.（－5，4）因为，所以，则.

14.当时，，.

当时，.故对于任意，都有.

设，则，则

，从而.

15.解：（1）若，即，则，符合题意.

若，即，则由中恰有一个元素，得，

解得或.

综上所述，的值构成的集合为.

（2）由，得或，则.

若，符合，

则解得或.

若，则，解得，则，符合.

若，则，解得，则，不符合.

综上所述，的取值范围为.

16.（1）证明：.

因为，所以，

则，从而.

（2）解：因为，所以

.

因为，所以，

当且仅当，时，等号成立，

故的最小值为.

17.解：（1）因为与分别是定义在上的奇函数、偶函数，所以，

.

由①，得，

则②.

①－②得，则

从而.

（2）因为