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专题13隐形圆模型
模型1定点定长模型特点有多条共顶点的相等线段示例思路结论由于OA=OB=OC,所以点A,B,C都在以定点O为圆心的同一个圆上
【针对训练】1.如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到AB处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是()A.直线的一部分 B.圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分B
2.如图,四边形ABCD中,DA=DB=DC,∠BDC=72°,则∠BAC的度数为________.?36°
3.(2023·宜宾)如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为____________.??
模型290°圆周角模型特点有固定线段AB和固定90°角(∠ACB=90°)示例思路结论点A,B,C(点A,B,C,D)都在以定线段AB的中点O为圆心的同一个圆上
?B
5.(2024·桂林一模)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=12,E为AD边上的一个动点,连接BE,F为BE上的一个动点,连接AF,CF,当∠ABE=∠BCF时,线段AF的最小值是_______.?4
6.(2024·河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为___________,最小值为___________.???
7.如图,已知正方形ABCD,边长为4,点M是正方形ABCD对角线AC上一点,连接BM,过点A作AH⊥BM,垂足为H,连接CH.在M点从C到A的运动过程中,CH的最小值为___________.??
模型3定弦定角模型特点有固定线段AB和固定角(∠ACB度数多为120°和135°)示例思路结论点A,B,C都在以点O为圆心的同一个圆上
?A
9.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=4,点D为△ABC所在平面内一点,∠BDC=90°,以AC,CD为边作平行四边形ACDE,则CE的最小值为______________.??
模型4四点共圆模型特点∠B=∠D或∠B+∠D=180°示例思路结论点A,B,C,D都在以点O为圆心的同一个圆上
【针对训练】10.如图,P为等边△ABC外的一个动点(P点与A点分别在BC所在直线的不同侧),且∠APB=60°,AB=1,则PB+PC的最大值为()?C
?B
12.如图,四边形ABCD中,∠BCD=60°,∠BAD=120°,AC平分∠BAD,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,连接DE,AF∶EF=3∶2,AC=16,则DE=________.??
模型5点圆最值特点点P是任意一点,点A在圆上运动示例思路结论连接OP并延长(反向延长),与圆O交于点B,点C,PA的最小值是PB(半径-OP的绝对值),PA的最大值是PC(半径+OP)
?A
14.如图,正方形ABCD的边长为10,点G是边CD的中点,点E是边AD上一动点,连接BE,将△ABE沿BE翻折得到△FBE,连接GF,当GF最小时,AE的长是___________.??
15.【问题情境】(1)点A是☉O外一点,点P是☉O上一动点.若☉O的半径为2,且OA=5,则点P到点A的最短距离为.?【直接运用】(2)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是.?【构造运用】(3)如图2,已知正方形ABCD的边长为6,点M,N分别从点B,C同时出发,以相同的速度沿边BC,CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,求点P到点C的最短距离,并说明理由.
?
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模型6线圆最值特点有一条直线,圆上一个动点示例思路结论P到直线AB的最小值就是圆心O到直线AB的距离减半径的绝对值,P到直线AB的最大值就是圆心O到直线AB的距离加半径
??A
?A
??
模型7最大张角特点两定点AB在∠C的一条边CM上,另一动点P在∠C的另一条边CN上示例思路结论当过A,B,P三点的圆与CN相切时,∠APB最大
?A
20.如图,在正方形ABCD中,边长为4,M是CD的中点,点P是BC上一个动点,当∠DPM的度数最大时,则BP=___________.??
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