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第8章最优控制设计方法

线性二次型最优控制设计方法是20世纪60年代发展起来的一种应用较多

的最优控制系统设计方法。设计对象是以状态空间形式给出的线性系统，而目标

函数为对象状态和控制输入的二次型函数。二次型问题就是在线性系统的约束条

件下，选择控制输入使得二次型目标函数达到最小值。

二次型公式的优点是它们可以导出易于实现和分析的线性控制率，因此本章

主要对二次型最优控制设计问题作为重点讨论的问题。本章首先讨论连续系统的

二次型最优控制设计问题，接着讨论离散系统的二次型最优控制设计问题，包括

有限阶和无限阶（稳态）问题，然后讨论最少燃料控制设计问题。最优观测器设

计，即Kalman—Bucy滤波器也将在本章讨论。最后，讨论二次型高斯问题。

8.1连续系统的二次型最优控制

设线性定常系统的状态方程为

x(t)Ax(t)+Bu(t)（8—1）

A

式中，x(t)为n维状态矢量；u(t)为r维控制矢量；为n×n维常数矩阵；B

为n×r维常数矩阵。假设控制矢量不受任何约束。

二次型性能指标为

tf

J∫0L(x,u)dt（8—2）

xu

式中，L(x,u)为和的二次型函数。若终端时间tf趋于∞，则系统属于无

限长时间状态调节器问题，可以证明，由此导出线性控制率为

u(t)−Kx(t)（8—3）

式中，K为r×n维矩阵。

因此基于二次型性能指标的最优控制系统设计，就简化为矩阵K中元素的求

取。

具体二次型性能指标如下：

∞TT

J∫0(xQx+uRu)dt（8—4）

QR

式中，为n×n维半正定实对称常数矩阵；为r×r维半正定实对称常数矩

QR

阵。和决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性最优控制的目标就

是求取u(t)，使性能指标J达到最小值。

8.1.1连续系统二次型调节器问题的求解

求解这类问题的方法有很多种，这里仅介绍基于Lyapunov第二方法的求解

方法。

通常，首先进行控制系统的设计，然后再检查其稳定性。但是，也可以先给

出稳定性条件，然后在这些限制条件下设计系统。如果将Lyapunov第二方法作

为最优控制设计基础的话，则可以保证系统是渐进稳定的。而且对于很多实际控

制来说，Lyapunov函数与用于最优控制设计的二次型性能指标之间具有一种直

接的关系。

将式（8—3）代入式（8—1）中，可得

x(t)Ax(t)−BKx(t)(A−BK)x(t)（8—5）

如无特殊说明，在下面的推导中设矩阵A−BK是稳定的，即A−BK的特征

值均具有负实部。

将式（8—3）代入式（8—4）中，可得

∞TTT∞TT

J∫0(xQx+xKRKx)dt∫0x(Q+KRK)xdt（8—6）

对任意x都有

TTdT