专题05 三角函数与函数应用（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）.docx

专题05三角函数与函数应用

目录

TOC\o1-2\h\u明晰学考要求 1

基础知识梳理 1

考点精讲讲练 6

考点一：弧度制下的弧长、面积公式 6

考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式 8

考点三：三角函数的图象与性质 12

考点四：三角函数图象变换 16

考点五：函数零点与函数模型应用 18

实战能力训练 21

明晰学考要求

1、了解终边相同角的含义及其表示，能对弧度和角度进行正确的转换；

2、掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式；

3、理解任意角的三角函数定义，能判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号；

4、会用同角三角函数的基本关系式化简、求值；

5、能运用诱导公式解决化简、求值问题；

6、掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象与性质；

7、了解零点的概念，会应用函数零点存在定理判断零点所在的范围；

8、能利用所给函数模型解决实际问题.

基础知识梳理

1、任意角

(1)任意角的概念：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转，叫作零角.

(2)角的终边所在象限：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就称这个角为轴线角.

(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.

2、弧度制与扇形弧长、面积公式

(1)度量角的两种单位制

角度制

定义

用度作为单位来度量角的单位制

1度的角

周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°

弧度制

定义

以弧度为单位来度量角的单位制

1弧度的角

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad

(2)角的弧度数的计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).

(3)角度制与弧度制的换算

角度化弧度

弧度化角度

360°＝2π__rad

2πrad＝360°

180°＝π__rad

πrad＝180°

1°＝eq\f(π,180)__rad≈0.01745rad

1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°

度数×eq\f(π,180)＝弧度数

弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数

(4)设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则

度量单位类别

α为角度制

α为弧度制

扇形的弧长

l＝eq\f(απR,180)

l＝α·R

扇形的面积

S＝eq\f(απR2,360)

S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2

3、三角函数的定义

(1)任意角的三角函数的定义

前提

如图，对于任意角α，它的终边异于原点的一点P(x，y)，该点与原点的距离为

定义

正弦

叫做α的正弦，记作sin__α，即sinα＝

余弦

叫做α的余弦，记作cos__α，即cosα＝

正切

叫做α的正切，记作tan__α，即tanα＝

(2)三角函数在各象限的符号

4、同角三角函数基本关系与诱导公式

(1)同角三角函数的基本关系

①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

②商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).

③常用变形：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α，sinα＝cos__αtan__α，cosα＝eq\f(sinα,tanα).

(2)诱导公式

公式一：sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α；

公式二：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α.

公式三：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α.

公式四：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos__α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin__α.

公式六：sin＝cos__α，cos＝-sin__α.

5、三角函数的图象

（1）正弦函数的图象叫做正弦曲线