专题04 指、对、幂函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）.docx

专题04指、对、幂函数

目录

TOC\o1-2\h\u明晰学考要求 1

基础知识梳理 1

考点精讲讲练 5

考点一：指数运算与对数运算 5

考点二：幂函数的概念与性质 6

考点三：指数函数的图象与性质 9

考点四：对数函数的图象与性质 11

考点五：比较指数式和对数式的大小 14

实战能力训练 20

明晰学考要求

1、掌握并运用有理数指数幂的运算性质；

2、会求简单的对数值，会运用对数的运算性质和换底公式进行化简求值；

3、了解幂函数的概念、图象特征和性质；

4、了解指数函数的概念；

5、掌握指数函数的图象和性质；

6、了解对数函数的概念；

7、掌握对数函数的图象和性质.

基础知识梳理

1、实数指数幂的运算

（1）n次方根

①定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.

②性质：

n为奇数

n为偶数

a∈R

a0

a＝0

a0

x＝eq\r(n,a)

x＝±eq\r(n,a)

x＝0

不存在

（2）根式

①定义：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②根式的性质：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0；(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1)．

eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0))(n为大于1的偶数)．

（3）根式与分数指数幂的互化

①正数的正分数指数幂的意义：＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；

②正数的负分数指数幂的意义：＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；

③整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；

(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)；eq\f(ar,as)＝ar－s(a0，r，s∈Q)．

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r＝eq\f(ar,br)(a0，b0，r∈Q)．

2、对数的概念

（1）定义：一般地，如果ab＝N(a0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

（2）两类特殊对数

①以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.

②以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.

（3）对数的性质

①(1)loga1＝0(a0，且a≠1)．

②logaa＝1(a0，且a≠1)．

③0和负数没有对数．

④对数恒等式：＝N；logaax＝x(a0，且a≠1，N0)．

3、对数的运算(1)运算性质：

如果a0，且a≠1，M0，N0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN.

②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

（2）对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)，使用时，经常换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).

4、幂函数

（1）幂函数的概念：函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③幂函数的定义域与α有关．

（2）一般幂函数的图象特征：①在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)．

②当α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．

③当α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．

④在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．

5、指数函数的概念

（1）概念：一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.

（2）指数函数的特征：底数a0，且a≠1；指数幂的系数为1.

6、指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

性质

定义域

R

值域

(0，＋∞)

最值

无最值

过定点

过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

函数值

的变化

当x0时，0y1；

当x0时，y1

当x0时，0y1；

当x0时，y1

单调性

在R上是增函数

在R上是减函数

奇偶性

非奇非偶函数

对称性

y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称

7、对数函数的概念

（1）概念：一般地，函数y＝log