初三数学圆知识点复习专题.docx

圆—苑教师

一、圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的间隔等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的间隔大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的间隔小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：1、圆：到定点的间隔等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

（补充）2、垂直平分线：到线段两端间隔相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边间隔相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的间隔相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的间隔等于定长的两条直线；

5、到两条平行线间隔相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线间隔都相等的一条直线。

二、点及圆的位置关系

1、点在圆内点在圆内；

2、点在圆上点在圆上；

3、点在圆外点在圆外；

三、直线及圆的位置关系

1、直线及圆相离无交点；

2、直线及圆相切有一个交点；

3、直线及圆相交有两个交点；

四、圆及圆的位置关系

外离（图1）无交点；

外切（图2）有一个交点；

相交（图3）有两个交点；

内切（图4）有一个交点；

内含（图5）无交点；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径②③④弧弧⑤弧弧

中随意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

例题1、根本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心

C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧

例题2、垂径定理

在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，假如油的最大深度为16cm，则油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，假如油面宽度是48cm，则油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.

（1）求证：四边形是正方形.

（2）若，，求圆心到弦和的间隔.

4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的间隔为3cm，求AB的长．

5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上随意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

例题3、度数问题

1、已知：在⊙中，弦，点到的间隔等于的一半，求：的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

A

A

B

D

C

E

O

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB及CD之间的间隔.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.

例题7、平行及相像

已知：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①；②；

③；④弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所