2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题02 函数与导数下的新定义（七大题型）（学生版）.docx

专题02函数与导数下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：曲率与曲率半径问题

题型二：曼哈顿距离与折线距离

题型三：双曲正余弦函数问题

题型四：凹凸函数

题型五：二元函数问题

题型六：切线函数新定义

题型七：非典型新定义函数

【方法技巧与总结】

1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．

2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．

结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则

结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．

【典型例题】

题型一：曲率与曲率半径问题

【典例1-1】(2024·高三·重庆·阶段练习)定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；

(1)求实数a的值；

(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；

(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．

【典例1-2】(2024·浙江温州·二模)如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：

①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；

②圆与曲线在点处有相同的切线；

③曲线的导函数在点处的导数(即曲线的二阶导数)等于圆在点处的二阶导数(已知圆在点处的二阶导数等于)；

则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线的曲率半径的最小值；

(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．

【变式1-1】(2024·高三·浙江宁波·期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为(它等于的倾斜角与的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数)

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2)求椭圆在处的曲率；

(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

【变式1-2】(2024·高三·辽宁·期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．

(1)求曲线在处的曲率的平方；

(2)求余弦曲线曲率的最大值；

题型二：曼哈顿距离与折线距离

【典例2-1】(2024·甘肃兰州·一模)定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．

(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；

(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；

(3)已知点，点(k，m，，e是自然对数的底)，当时，的最大值为，求的最小值．

【典例2-2】(2024·高三·广西防城港·阶段练习)若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：

(1)若，求的取值范围；

(2)若对一切实数恒成立，设，，且，求的最大值.

【变式2-1】(2024·高三·北京·期中)“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则

(1)①点，，求的值．

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．

(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．

题型三：双曲正余弦函数问题

【典例3-1】(2024·高三·江苏苏州·开学考试)定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．

(1)求函数的最小值；

(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；

(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．

【典例3-2】(2024·高三·福建宁德·期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”