2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题04 高等数学定理背景命题（六大题型）（学生版）.docx

专题04高等数学定理背景命题

【题型归纳目录】

题型一：泰勒公式

题型二：极大值点的第二充分条件定理

题型三：帕德逼近

题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

题型五：伯努利、琴生不等式

题型六：微积分、洛必达

【方法技巧与总结】

1、泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．

2、【极值点第二充分条件】已知函数在处二阶可导，且

(1)若，则在处取得极小值；

(2)若，则在处取得极大值.

3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．(注：，，，，…；为的导数).

4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得.

5、罗尔定理描述如下：如果上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．

6、微积分

知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间长度)，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.

知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.

知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则

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7、伯努利不等式(Bernoulli’sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．

8、设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立(当且仅当时等号成立).

【典型例题】

题型一：泰勒公式

【典例1-1】(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．

(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；

(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；

(3)设，证明：．

【典例1-2】(2024·贵州贵阳·一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)证明：；

(2)设，证明：；

(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.

【变式1-1】(2024·高一·四川成都·期末)已知函数的最小值为．

(1)求函数的单调递减区间；

(2)英国数学家泰勒(B．Taylor，1685-1731)发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：(结果精确到小数点后4位，参考数据：，)

题型二：极大值点的第二充分条件定理

【典例2-1】(2024·高二·陕西咸阳·阶段练习)给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.

(1)若函数，求函数图象的对称中心；

(2)已知函数，其中.

(ⅰ)求的拐点；

(ⅱ)若，求证：.

【典例2-2】(2024·高二·广东东莞·阶段练习)记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，.

(1)若函数为上的凸函数，求a的取值范围；

(2)若函数在上有极值，求a的取值范围.

【变式2-1】(2024·上海普陀·一模)若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．

①在上的导数存在；

②在上的导数存在，且(其中)恒成立．

(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．

(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．

题型三：帕德逼近

【典例3-1】(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．(注：，，，，…；为的导数)已知在处的阶帕德近似为．

(1)求实数a，b的值；

(2)比较与的大小；