2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题09 初等数论与几何背景下的新定义（六大题型）（教师版）.docx

专题09初等数论与几何背景下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：进位制

题型二：数对序列

题型三：群论

题型四：平面几何

题型五：置换

题型六：余数、约数

【典型例题】

题型一：进位制

【典例1-1】(湖南省衡水金卷2023-2024学年高三二调数学试题)国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“

”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码(0)11111100100，换算成十进制的数是n，求及的值．

【解析】∵．

∴，

∴，

．

【典例1-2】(安徽省合肥市2024届高三学期第二次教学质量检测理科数学试题)通信编码信号利用信道传输，如图1，若信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号(以两个信道为例，如图2)．

华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术(以两个相互独立的信道传输信号为例)：如图3，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与“异或”运算得到信号，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号或．

(注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“”表示：，，，．“异或”运算性质：，则)．假设每个信道传输成功的概率均为．．

(1)在传统传输方案中，设“信号和均被成功接收”为事件，求：

(2)对于极化码技术：①求信号被成功解码(即根据BEC信道1与2传输的信号可确定的值)的概率；②若对输入信号赋值(如)作为已知信号，接收端只解码信号，求信号被成功解码的概率.

【解析】(1)设“信号和均被成功接收”为事件，则；

(2)①，．

当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由、的值可确定的值，所以信号被成功解码的概率为；

②若信道2传输成功，则信号被成功解码，概率为；

若信道2传输失败、信道1传输成功，则，因为为已知信号，信号仍然可以被成功解码，此时被成功解码的概率为；

若信道2、信道1都传输失败，此时信号无法成功解码；

综上可得，信号被成功解码的概率为.

【变式1-1】(上海市十校2024届高三学期3月联考(文理)数学试题)规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个2进制形式的数，且；

(1)已知，试将表示成进制的简记形式；

(2)若数列满足，，，，，求证：；

(3)若常数满足且，，求.

【解析】(1)，

则.

(2)，

，知是周期为3的数列，

则.

即：

(3)

所以，

即.

题型二：数对序列

【典例2-1】(北京市西城区2024届高三学期期末数学试题)给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.

(1)当，时，写出所有满足的数对序列；

(2)当时，证明：；

(3)当为奇数时，记的最大值为，求.

【解析】(1)依题意，当，时有：

或.

(2)当时，

因为与不同时在数对序列中，

所以，所以每个数至多出现次，

又因为，

所以只有对应的数可以出现次，

所以.

(3)当为奇数时，先证明.

因为与不同时在数对序列中，

所以，

当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为.

对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，

那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：

首先，对于如下个数对集合：

，

，

……

，

，

每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，

所以，

其次，对每个不大于的偶数，

将如下个数对并为一组：

，

共得到组，将这组对数以及，

按如下方式补充到的后面，

即

.

此时恰有项，所以.

综上，当为奇数时，

.

【典例2-2】(上海市杨浦高级中学2023-2024学年高一学期期中数学试题)对于四个正数，若满足，则称有序数对是的下位序列.

(1)对于2、3、7、11，有序数对是的下位序列吗?请简单说明理由;

(2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系；

(3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值.

【解析】(1)

是的下位序列

(2)是的“下位序列”

，，，均为正数

故，

即

同理，

综上所述：；

(3)由已知得，

因为为整数，

故，

，

该式对集合内的每一个的每个正整数都成立，

所以正整数的最小值为.

题型三：群论

【典例3