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第一章随机事件与概率

§1.1随机事件

一、基本概念

???1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）

投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故

????2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。有的是人为设置，有的是必须经历。

?通常所指的试验具有以下2个特征：

????（1）可以重复进行；

????（2）事先明确所有基本结果

???3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。

???例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。

???4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。

???例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到

”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。

???5．样本点：即基本事件，记为。随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。

???6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。如

投币：Ω={正，反}抽牌：Ω=

随机事件都是样本空间的子集。例1中抽到任何一张

，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。

7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。如

投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。抽牌：Ω=“抽到一张牌”。

8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。如

投币：=“正面朝上且反面朝上”。抽牌：=“抽到一张电影票”。

???例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。

二、事件的关系与运算

???事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。

???1．包含关系???（或）

?????集合语言：A中的样本点，全在内。

??????事件语言：若发生，则必发生。（如“抽到

”“抽到红牌”）

???2．相等关系???=（且）：、是同一个事件。

???3．事件的和???=+：、至少有一个发生（发生或发生）

??????如：“抽到红牌”=“抽到

”+“抽到红桃”

??????++：、、至少有一个发生。

????4．事件的积???=：、同时发生（发生且发生）

????5．互不相容事件（简称不相容）?若=，则称、互不相容，即、不能同时发生

????6．逆事件（对立事件）：不发生显然=（不相容）且+=（完备）

???例4生产加工三个零件，表示第个零件实在正品

???（1）：没有一个零件是次品，全是正品

???（2）：只有第一个是次品

???（3）恰有一个是次品：++（是否等于？）

???（4）至少有一个是次品：++（是否等于？）

????事件的语言见P7的表格

§1.2事件的概率

一、古典概型

概率即可能性大小：事件A的概率记为

投币时，出现正、反面的可能性相同，各为50%，故（正）=0.5,（反）=0.5

若试验满足以下条件：

（1）样本空间中的元素（样本点）有限：

（2）基本事件发生的可能性相同：

则称之为古典概型，古典概型的概率很容易计算

上节例1中抽到

和抽到K的概率分别是

??

（注）此处关心的是基本事件的个数，而不是具体的哪些基本条件。

???例1在52张扑克中，抽2张，“抽到的都是

”，求

???解：这里样本点总数是

（注）同时抽两张于无放回的先后抽2张，效果是一样的（对不讲次序的事件）有放回的抽取以后在分析例2从一批9个正品，3个次品的产品中，依次任取5件，求概率

??（1）=“恰有两件次品”，

??（2）=“至少有一件次品”，

??（3）=“至少有2件次品”（分为二件与三件次品的计算）

???解：

????????????????

???

二、概率的性质

???1．

???2．，

3．可加性（加法定理）??（点击见图1）

?????、不相容时，，

?????、、两两不相容时，

???4．

???5．若，则（单调性）

三、概率的统计定义

???1．古典概型的局限性

???例如任选一人测量体重（样本点无限）或投掷不均匀的股子（可能性不均等），都无法用古典概型计算概率，即使是古典概型，也有计算难以进行的时候。

???2．概率的背景

???说某人射击命中目标的概率为0.7，这个0.7是怎么得来得呢