函数中的同构问题--2024高考数学压轴大题秒杀(学生版) .pdfVIP

函数中的同构问题

考情分析

近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将

不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方

法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利

用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.

解题秘籍

(一)同构函数揭秘

同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比

xx

如e+x与x+lnx属于“跨阶函数”，而e+lnx属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，

一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函

数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：fx=xex,fx=





xx

xlnx,fx=x+e,fx=x+lnx，fx=e-x+a,fx=lnx-x+a等，在一些求参数的取值范围、



零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同

ex

lnxxxx+lnx

构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；x=e,x=lne,xe=e,=

x

ex-lnx等.

1

1(2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试)已知函数fx=lnx-ax-.

x

(1)当a=2，求fx的极值；



(2)若fx≤-e-ax恒成立，求a的取值范围.



·1·

2(2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测)已知函数fx=x2+lnx+ax在x=1处的切线



l和直线x+y=0垂直.

(1)求实数a的值；

22

f