数学学案：课堂导学排序不等式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

一，利用排序不等式中的乱序解决相关问题

【例1】正实数a1，a2，…,an的任一排列为a1′，a2′,…,an′,求证:++…+≥n。

证明:设a1≤a2≤…≤an，则≥≥…≥,其反序和为++…+=n,原不等式的左边乱序和，因此有++…+≥n.

温馨提示

运用排序不等式时，要特别注意每组数的大小顺序.

二，利用排序不等式中反序和顺序解决相关问题

【例2】a，b，c∈R+,求证:an(a2—bc）+bn(b2—ac)+cn(c2—ab）≥0.

证明:设a≥b≥c，要证原不等式，需证an+2+bn+2+cn+2≥anbc+bnca+cnab。

又an+1≥bn+1≥cn+1an+2+bn+2+cn+2≥an+1b+bn+1c+cn+1·a。

又ab≥ac≥bc，an≥bn≥cnan+1b+bn+1c+cn+1a≥anbc+bnac+cnab

因此，原不等式成立.

温馨提示

注意在一切和数中,最大和数所对应的情况只能是唯一一种情况,即最大和数是顺序和。

三，排序不等式的应用

【例3】a,b,c∈R+，求证:a+b+c≤++≤++.

证明:不妨设a≥b≥c〉0，则≥≥,a2≥b2≥c2,

则a2·+b2·+c2·≤++,a2·+b2·+c2·≤++,两式相加得

a+b+c≤++。

又a3≥b3≥c3，≥≥〉0，

∴++≥++=++,++≥++=++.

两式相加,得++≤++。

即不等式成立。

温馨提示

排序不等式中注意排序原理中顺序和，乱序和的各种形式和条件.

各个击破

类题演练1

a，b,c∈R+，求证:≥a+b+c.

证明:设a≥b≥c，则ab≥ac≥bc，≥≥，

于是ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×

=a+b+c,

即≥a+b+c。

变式提升1

a，b，c∈R+，求证:a+b+c≤。

证明:设a≥b≥c,则a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc。

又a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c

又a3≥b3≥c3且a≥b≥c得a3c+b3a+c3

≤a4+b4+c4。

所以abc(a+b+c）≤a4+b4+c4,

即a+b+c≤.

类题演练2

a1,a2,…，an∈R+,b1,b2,…,bn是a1,a2，…，an的任一排列。求证:a1b1—1+a2b—1+…+anbn-1≥n.

证明:设a1≥a2≥…≥an，由不等式的单调性知an-1≥an-1-1≥…≥a1—1。

由排序原理得a1b1-1+a2b2-1+…+anbn—1≥a1a1-1+…+anan—1=n

变式提升2

a1,a2,…,an为正数，且b1，b2,…，bn是它的一个排列。求证：a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1pb1q+…+anpbnq

(p,q为正数）.

证明：设a1p≥a2p≥…≥anp,a1q≥a2q≥…≥anq,由排序原理得a1p·a1q+a2p·a2q+…+anp·anq≥a1p·b1q+

a2p·b2q+…+anp·bnq,

即a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1p·b1q+a2p·b2q+…+anp·bnq.

类题演练3

已知a，b，c∈R+,求证:++≥a10+b10+c10。

证明:不妨设a≥b≥c〉0,则≥≥0,且a12≥b12≥c12〉0,

∴++≥++=++≥a10+b10+c10。

变式提升3

设a1,a2，…,an是n个正数的一个排列，求证：+++…+≤++…+。

证明：设b1,b2，…,bn是a1,a2，…，an的一个排列,且b1〈b2〈…bn,c1,c2,…,cn是a1,a2,…，an的一个排列，且c1c2…〈cn，则…〉.

由排序不等式得++…++≥++…++=1+1+…+1+1++…++1，

即++…+≥++…++1.