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学必求其心得，业必贵于专精
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课堂导学
三点剖析
一、函数零点的性质
【例1】函数f（x)=x3-2x2+3x—6在区间［—2,4］上的零点必定在（）
A.［-2,1］内B.［,4]内
C.［1，］内D。[，］内
解析：由于f（-2)=-8-8—6—6=-28〈0,f（4）=64-32+12-6=38〉0，
且f（)=f（1)=1—2+3-6=—4〈0,
∴零点在区间［1,4］内。
又f()=f（)=+—6=—11〉0,
∴零点在区间［1，］内.
又f()=f()0，
∴零点在区间[，]内.∴选D。
答案：D
二、求方程的近似解
【例2】求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.
思路分析：考查函数f(x）=2x3+3x—3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间。
解：经试算，f（0）=—30,f(2）=19〉0,
所以函数f(x）=2x3+3x-3在［0，2］内存在零点，
即方程2x3+3x—3=0在［0,2］内有解.
取［0,2］的中点1，经计算f（1）=20，
又f（0)〈0，
所以方程2x3+3x—3=0在[0,1］内有解。
如此下去，得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间如下表所示。
左端点
右端点
第1次
0
2
第2次
0
1
第3次
0.5
1
第4次
0.5
0。75
第5次
0。625
0.75
第6次
0.6875
0。75
第7次
0。71875
0。75
第8次
0.734375
0。75
第9次
0.734375
0。7421875
∵0.7421875-0.734375=0.00781250.01。
∴x10==0。73828125≈
0。74为方程2x3+3x-3=0精确到0.01的一个实数解.
三、函数零点的应用
【例3】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c.
(1）若abc且f（1）=0,证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x1、x2∈R且x1〈x2,f（x1）≠f（x2)，方程f（x）=［f(x1)+f（x2）］有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1,x2）。
证明:(1）∵f(1)=0，∴a+b+c=0。
又∵a〉b〉c,∴a0,c0，即ac〈0.
∴Δ=b2-4ac0.∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.
故函数f(x）有两个零点.
（2）令g(x）=f（x)[f（x1)+f（x2)],则g（x1)=f(x1）［f(x1)+f（x2)］=,
g(x2）=f(x2）［f(x1)+f（x2）］=。∴g(x1)·g(x2)=[f（x1）—f（x2)］2。
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g（x2）〈0.∴g(x）=0在(x1，x2)内必有一实根。
故f(x）=［f（x1）+f（x2）]在（x1,x2）内必有一实根.
各个击破
类题演练1
函数y=lgx的零点所在的大致区间是…(）
A.（6,7)B。(7，8)C。(8，9）D.（9，10)
解析：代入验证，可知f(9）=lg9-10,f(10)=1〉0。∴f(9)·f（10)0。
答案:D
变式提升1
下列各图中函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(）
解析：用二分法只能求变号零点的近似值,而B中的零点是不变号零点，故选B.
答案：B
类题演练2
求方程x3-4x+1=0的一个正数的零点.（精确到0.1)
解析：设f（x）=x3-4x+1,
由于f(1)=—20,f(2)=1〉0,故可取区间[1，2］作为计算的初始区间。
用二分法逐次计算，列表如下:
端点（中点）坐标
计算中点的函数值
取区间
f（1)=-2〈0
x1==1。5
x2==1.75
x3==1.875
x4=1。813
x5=1。844f
f（2）=1〉0
f（1。5）=-1。625〈0
f(1.75)=-0.641〈0
f（1.875）=0。092
f(1。813）=—0。296
f（1。844）=-0.107
［1,2］
[1.5,2］
［1.75，2］
［1.75，1。875]
［1。813,1.875]
由上表计算可知区间［1.813,1.875］的长度小于0.1，∴这个区间的中点1.8437为所求函数的一个正实数零点近似值.
变式提升2
先用求根公式求出方程2x2—3x—1=0的解，用二分法求出这个方程的近似解.（精确到0。1）
解析：方程的两个解分别为x1=,x2=。
取区间（1.775，1.8)和(—0.3，—0。275）。
令f(x)=
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