数学学案：课堂导学圆锥曲线的参数方程.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

1。利用参数方程求点的轨迹

【例1】已知A、B分别是椭圆+=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.

分析：本题有两种思考方式，求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ，3sinθ)的形式，从而予以求解。

解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ)，点G的坐标为（x，y），则由题意可知点A(6,0)、B(0，3)。

由重心坐标公式可知

,

由此消去θ得到+（y-1）2=1,即为所求.

温馨提示

本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得更简单、更便捷.

2。利用参数方程求坐标

【例2】在椭圆7x2+4y2=28上求一点,使它到直线l:3x—2y—16=0的距离最短，并求出这一最短距离。

解:把椭圆方程化为+=1的形式，

则可设椭圆上点A坐标为（2cosα,sinα),

则A到直线l的距离为

d=

=（其中β=arcsin）。

∴当β-α=时，d有最小值,最小值为=

此时α=β-，∴sinα=—cosβ=.，cosα=sinβ=.

∴A点坐标为（，）。

温馨提示

用参数方程解决一些坐标问题,简单易行。

3。利用参数方程求最值

【例3】实数x、y满足=1,试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.

分析:本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换,但容易看到会出现开方,很不利于求x-y的最大值与最小值.这时,根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解,借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.

解：由已知可设即

则x—y=（4cosθ+1）-(3sinθ-2)=（4cosθ—3sinθ)+3=5cos（θ+α）+3，其中cosα=,sinα=.

当cos(θ+α）=1，即θ+α=2kπ，k∈Z时，

cosθ=cos（2kπ-α)=cosα=，

sinθ=sin（2kπ—α）=—sinα=—,

x=4×+1=，y=3×（—)-2=时，x-y的最大值为8.

同理,当x=,y=时,x—y的最小值为-2。

各个击破

类题演练1

已知双曲线—。=1(a〉0,b0)的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点.

（1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；

（2)若P（x1，y1)，B（x2,y2)，求证：a是x1、x2的比例中项.

（1）解：由题意可设点B（asecθ，btanθ)，

则点C（asecθ，—btanθ),又M（-a，0）,N(a,0），

∴直线MB的方程为y=(x+a）,

直线CN的方程为y=（x-a).

将以上两式相乘得点P的轨迹方程为+=1。

（2）证明：因为P既在MB上，又在CN上,由两直线方程消去y1得x1=，而x2=asecθ，所以有x1x2=a2，即a是x1、x2的比例中项.

变式提升1

在直角坐标系xOy中，参数方程(t为参数）表示的曲线是____________。

解析：将t=代入y=2t2—1得y=2（）2-1

即（x-1)2=2（y+1),表示的曲线是抛物线.

答案:抛物线

类题演练2

椭圆（θ为参数）的左焦点的坐标是__________。

解析:a=4，b=3，∴c=。

∴坐标为（—，0）

答案:（-,0)

变式提升2

在椭圆.+。=1(ab0）的第一象限的上求一点P，使四边形OAPB的面积最大,并求最大面积.

分析：如右图，将四边形的OAPB分割成△OAP与△OPB,则P点纵坐标为△OAP的OA边上的高,P点横坐标为△OPB的OB边上的高.

解:设P(acosθ,bsinθ）,

S四边形OAPB=S△OAP+S△OPB

=absinθ+abcosθ=ab（sinθ+cosθ）

=absin（+θ）.

当θ=时,四边形OAPB面积最大，最大面积为ab,此时,P点坐标为(a,b）.

类题演练3

设a、b∈R,a2+2b2=6，则a+b的最小值是_______________.

解析:∵a2+2b2=6，∴=1.

设（θ为参数),

∴a+b=cosθ+sinθ=3sin（θ+φ），

其中cosφ=,sinφ=,

即a+b的最小值是-3.

答案：-3

变式提升3

设P(x，y)是椭圆2x2+3y2=12上的一动点，求x+2y的取值范围.

解：由2x2+3y2=12,∴+=1。

∴（θ为参数）。

∴x+2y=cosθ+4sinθ=sin(θ+φ）,θ为实数，φ为辅助角.

∴x+2y∈［-,］.