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2010-2023历年江苏省淮安市高三数学第一次调研测试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；

（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

3.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近?的一点，为圆周上靠近?的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）求观光路线总长的最大值.

4.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是?????

5.已知函数（其中是自然对数的底数），，．

（1）记函数，且，求的单调增区间；

（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．

6.若，，是实数，则的最大值是????．

7.如图，已知A,B,C是圆O上的三点，BE切圆O于点B,D是CE与圆O的交点，若求线段CD的长.

8.已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围

9.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是?????．

10.若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是?????．

11.如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是????．

12.已知是等差数列，若，则的值是????．

13.若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是?????．

14.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是?????．

15.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．

（1）求证：；

（2）若平面与平面的交线为，求证：．

16.已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有?成立，且．

（1）求，的值；

（2）猜想数列的通项公式，并给出证明．

17.已知的内角的对边分别为，．

（1）若，，求的值；

（2）若，求的值．

18.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是?????．

19.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是?????．

20.若，则的值是?????．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：试题分析：根据特征值与特征向量关系求矩阵：设矩阵，则有，，从而所以．

试题解析：设矩阵，这里，

因为是矩阵A的属于的特征向量，则有?①，??4分

又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有②???6分

根据①②，则有??????????????????????????8分

从而所以．?????????????10分

考点：特征值与特征向量

2.参考答案：（1）（2）详见解析（3）定值为36试题分析：（1）因为直线，互相垂直，且和圆相切，这是一个较特殊的情况，此时，即，又点在椭圆上，所以，解得所以所求圆的方程为．（2）是一般情况，则从直线与圆相切关系出发，即利用圆心到切线距离等于半径建立等量关系：因为直线：与圆相切，所以,化简得，同理：满足，所以是方程的两个不相等的实数根，，因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即．（3）探求定值问题，可从斜率或点坐标关系出发，利用斜率表示出点P,Q的坐标，进行化简即得.当直线不落在坐标轴上时,设,由得，所以，同理，得，由，所以，当直线落在坐标轴上时,显然有.

试题解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，

因为直线，互相垂直，且和圆相切，

所以，即，①??????????????1分

又点在椭圆上，所以，②?????????????2分

联立①②，解得????????????????????3分

所以所求圆的方程为．?????????4分

（2）因为直线：，：，与圆相切，

所以,化简得?????6分

同理，????????????????7分

所以是方程的两个不相等的实数根，

?????????8分

因为点在椭圆C上，所以，即，

所以，即．??????????????10分

（3）是定值，定值为36，????????????????11分

理由如下：

法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,

联立解得??????????????12分

所以，同理，得，???13分

由，

所以

???????????????????????15分

(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，

综上：．????????????????