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北郊中学2024学年第一学期高三年级数学期中
2024.11
一、填空题(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)
1.已知全集,集合,,且,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用子集的含义求解即可.
因为,又因为,所以.
故答案为:.
2.若(为虚数单位),则的共轭复数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,利用复数的运算法则,求得,结合共轭复数的概念,即可求解.
由复数,可得,
则的共轭复数为.
故答案为:.
3.已知函数,则______.
【答案】
【解析】
【分析】求导,即可结合导数的定义求解.
,则,故,
故.
故答案为:
4.用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为,那么n=______.
【答案】8
【解析】
【分析】根据简单随机抽样的定义求解.
因为用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中逐个抽取,个体a在第一次就被抽取的可能性为,
因此,所以.
故答案为:8
5.在中,若,,,则的面积是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理求,再根据三角形面积公式求结果.
因为,
所以(负值舍去)
因此的面积是
故答案为
点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式,考查基本分析求解能力,属中档题.
6.二项式的展开式中含的系数为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
二项式的展开式通项公式为,
令得,,所以展开式中的系数为.
故答案为:.
7.设平面向量,,若,不能组成平面上的一个基底,则______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用基底的定义可得,再利用共线向量的坐标表示求解即得.
由,不能组成平面上的一个基底,得,而,,
因此,所以.
故答案为:
8.已知椭圆C的焦点、都在x轴上,P为椭圆C上一点,的周长为6,且,,成等差数列,则椭圆C的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件,结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出即可得解.
令椭圆长半轴长为,半焦距为,依题意,,
即,解得,则椭圆短半轴长,
所以椭圆C的标准方程为.
故答案为:
9.已知函数若实数a满足f(a)=f(a-1),则=___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据函数定义,求出值后再计算函数值.
因为()是增函数,()也是增函数,
要使成立,则有,
由得,解得(舍去),
所以.
故答案为:8.
【点睛】本题考查分段函数求函数值,解题时需根据自变量范围确定选用的函数解析式.
10.已知,集合,若存在,使得集合恰有五个元素,则的范围取值为________.
【答案】
【解析】
【分析】整理可得,分析可知同为最大值点或最小值点,结合集合的元素特征可知在内有个最值点,再根据正弦函数的最值分析求解.
因为,
若,等价于或,
即同为最大值点或最小值点,
若,则点;若,则点;
据此可知:若集合恰有五个元素,等价于在内有个最值点,
不妨设,可知最值性相同,与不同,
此时集合B的元素为,符合题意,
因为,且,则,
可得,解得,
所以的范围取值为.
故答案为:.
11.在正方体中,E,F分别为AB,的中点,以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点.
【答案】12
【解析】
【分析】根据正方体的对称性,可知球心到各棱距离相等,故可得解.
不妨设正方体棱长为2,中点为,取,中点,侧面的中心为,连接,如图,
由题意可知,为球心,在正方体中,,
即,
则球心到的距离为,
所以球与棱相切,球面与棱只有1个交点,
同理,根据正方体的对称性知,其余各棱和球面也只有1个交点,
所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.
故答案为:12
12.已知实数成公比为的等比数列,抛物线上每一点到直线的距离均大于,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出直线必过点,取抛物线位于轴上方部分,设上一点到直线的距离最小,由几何关系得出,再根据点到直线的距离公式列出不等式,即可求解.
因为实数成公比为的等比数列,所以,
所以,即直线必过点,且斜率,
不妨取抛物线位于轴上方部分,则,,,
由题可知,,则,
设上一点到直线的距离最小,
则处的斜率等于直线的斜率,即,所以,
点到直线的距离,
整理得,解得,因为,所以,
根据直线和抛物线得对称性得,,
故答案为:.
二、选择题(共4题,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分,满分18分)
13.一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,投掷这枚骰子两次,设事件“第一次朝上面的数字是奇数”,则下
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